Іі.2 елементи земного еліпсоїда. Криволінійні координати на його поверхні

Еліпсоїд обертання цілком визначається розмірами його великої і малої півосей (а і Ь). Крім них можуть використовуватися допоміжні лінійні величини

Форму еліпсоїда прийнято характеризувати відносними елементами:

1. Стисненням

2. Ексцентриситетом

3. Другим ексцентриситетом і

4. Величинами без назв.

За допомогою формул (1.7) - (1.10) легко встановити зв'язок між елементами еліпсоїда

У сфероїдальній геодезії досить часто використовується розкладання функцій в ряди по степеню ексцентриситету . Наведемо порядок цих величин, що буде корисно при оцінці необхідного числа членів відповідних рядів:

Запис багатьох формул сфероїдальній геодезії істотно спроститься, якщо ввести позначення:

Встановити зв’язок між W та V

Звідси

Використовуючи (1.12), (1.13), (1.20), легко отримати співвідношення

Криволінійні координати на поверхні еліпсоїда

Криволінійними координатами точки на поверхні еліпсоїда називаються числові характеристики двох координатних ліній, в перетині яких знаходиться дана точка. Побудова системи криволінійних координат полягає у виборі двох сімейств ліній на поверхні еліпсоїда і встановлення способу їх нумерації.

У геодезії використовується система геодезичних координат В і L (сімейства паралелей і меридіанів), де В- геодезична широта, L- геодезична довгота, а також система і, L з приведеною широтою U. Крім них іноді використовується система Ф, L з геоцентричною широтою Ф, яка визначається як гострий кут між радіусом-вектором точки і площиною екватора.

Система геодезичних координат є основною системою криволінійних координат на поверхні земного еліпсоїда. Її практичне значення полягає в тому, що геодезичні координати В і L незначно (на величину ухилення прямовисній лінії) відрізняються від астрономічних координат, одержуваних з астрономіч-них спостережень. Приведена і геоцентрична широти мають допоміжне значе-ння, з їх допомогою спрощується опис деяких теоретичних питань

(рис. 1.2. і рис. 1.3.).

Рис.1.2. Геоцентрична, наведена, геодезична широти

Рис. 1.3. Зв'язок між геодезичною і наведеної широтою

Встановимо зв'язок між геодезичною широтою і широтами U і Ф. На рис.1.2 зображено ділянку меридіанного еліпса з рівнянням

Відрізком Qn , рівним великої півосі a, навіщо на осі обертання еліпсоїда точку n. Гострий кут, утворений прямою Qn з площиною екватора, є наведе-ною широта. За рис.1.2 отримаємо (r- радіус паралелі)

Підставляючи (1.24) в (1.23), знайдемо

Вирази (1.24) і (1.25) є параметричними рівняннями еліпса. З puc.1.3 запишемо:

Диференціали dr і dz знайдемо з виразів (1.24) і (1.25)

Звідси (1.26) запишемо

Це основна формула, що встановлює залежність між геодезичної і наведеної широтами, із якої з урахуванням (1.12) можна знайти інші корисні вирази:

Далі запишемо (1.28) в вигляді

де k- невідомий множник, який будемо шукати під умовою

Зводячи (1.33) в квадрат і складаючи, отримаємо з урахуванням (1.21)

Підставляючи (1.34) в (1.33), знайдемо

Використовуючи ці співвідношення і формулу (1.20), легко висловити W і V через приведеною широту

Звідси отримаємо

Нарешті, диференціюючи (1.28) і залучаючи (1.2 1) і (1.36), знайдемо

Для того щоб оцінити різницю між геодезичної та проведеної широтами, скористаємося формулою (l.31), з якої випливає

д е величина x визначається формулою (1.11). Звідси, враховуючи мале

відмінність між В і U, отримуємо наближену оцінку

М аксимальне значення різниці В - U на широті 45 ° становитиме:

З в'язок геометричної широти Ф з геодезичної В установимо з допомогою рис.1.2 і формул (1.24), (1.25) і (1.28)

або