Перше наближення

Найгрубішою формою опису фігури Землі при першому наближенні — є сфера, з середнім радіусом 6371,3 км. Таке представлення нашої планети добре підходить для задач, точність обчислень у яких не перевищує 0,5%. Для більшості проблем загального землезнавства цього наближення видається достатнім, щоб використовувати в описі чи дослідженні деяких географічних процесів. У такому разі відкидають сплющеність планети при  полюсах як несуттєве зауваження. Земля має одну вісь обертання та екваторіальну площину  — площину симетрії та площини симетрії меридіанів, що характерно відрізняє її від безкінечності множин  симетрії ідеальної сфери. Горизонтальна структура географічної оболонки характеризується визначеною  полясністю та певною симетрією щодо екватора.

Друге наближення

При більшому наближенні фігуру Землі прирівнюють до еліпсоїда обертання. Ця модель, що характеризується вираженою віссю, екваторіальною площиною симетрії та меридіональними площинами, використовується в геодезії для обчислення координат, будування картографічних мереж, розрахунків тощо. Різниця півосей такого еліпсоїда становить 21 км, велика вісь — 6378,160 км, мала — 6356,777 км, ексцентриситет — 1/298,25. Положення поверхні легко може бути теоретично розраховано, але його неможливо визначити  експериментально в натурі.

На практиці використовується кілька різних середніх земних еліпсоїдів і пов'язаних з ними систем земних координат.

Третє наближення

Через те, що екваторіальний  переріз Землі також еліпс з різницею довжин півосей 200 м й ексцентриситетом 1/30000, третьою моделлю виступає тривісний еліпсоїд. У географічних дослідженнях ця модель майже не використовується, вона лише свідчить про складну внутрішню будову планети.

Четверте наближення

В процесі розвитку людства, розвивалися і їхні уявлення, і знання про нашу планету. За багато років дослідження Землі ми дійшли висновку , що вона має форму геоїда — це еквіпотенціальна поверхня, що збігається з середнім рівнем Світового океану, є геометричним місцем точок простору, що мають однаковий потенціал сили ваги. Така поверхня має неправильну складну форму, тобто не є площиною. Рівнева поверхня в кожній точці перпенди- кулярна до виска . Практичне значення та важливість цієї моделі полягає в тому, що лише за допомогою виска, рівня,нівеліра та інших геодезичних приладів можна простежити положення рівневих поверхонь, тобто, в нашому випадку, геоїда.

Для кращої  апроксимації поверхні вводять поняття  референц-еліпсоїда, який добре збігається з геоїдом тільки на якійсь ділянці поверхні. Референц-еліпсоїди в цілому мають геометричні параметри відмінні від геометричних параметрів середнього земного еліпсоїда, який описує земну поверхню в цілому.

РОЗДІЛ ІІ.

ЗЕМНИЙ ЕЛІПСОЇД.

КРИВІ НА ПОВЕРХНІ ЕЛІПСОЇДА

ІІ.1 ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ДЛЯ КРИВИХ НА ПОВЕРХНІ ЕЛІПСОЇДА

Криві, розташовані на поверхні еліпсоїда, будуть мати властивості, тісно пов'язані з властивостями цієї поверхні. Нагадаємо деякі геометричні поняття і співвідношення для кривих на поверхні.

Якщо через деяку точку поверхні провести всілякі криві, то дотичні до них утворюють дотичну площину. Пряма, перпендикулярна до дотичної площини і проходить через точку дотику, називається нормаллю до поверхні. Дотична площину і нормаль до поверхні будуть спільними для всіх кривих, розташованих на поверхні і тих що проходять через точку дотику.

Через нормаль до поверхні можна провести безліч площин в різних напрямках. Вони називаються нормальними площинами.

Рис.1.1. Супроводжуючий тригранник

В сі криві на поверхні діляться на два види: плоскі криві (мають тільки кривизну) і криві подвійної кривизни (мають кривизну і кручення). Поведінка просторових кривих характеризується так званим тригранник (рис.1.1), ребрами якого є взаємно ортогональні одиничні вектори - дотичній ,головної нормалі і бінормалі . При поступальному русі вздовж кривої S вектори будуть змінювати своє положення в просторі відповідно до формул Серрі-Френе

Де - кривизна кривої; - її кручення. Кривизна проекції кривої на нормальну площину називається нормальною кривизною , а кривизна проекції кривої на дотичну площину називається геодезичною кривизною .

Якщо ввести систему прямокутних координат з початком у вершині

с упроводжуючого тригранника (див. рис .1.1), вісь х направити по дотичній , ось у - по головній нормалі , вісь - по бінормалі , то вираз для радіуса-вектора поточної точки можна записати у вигляді :

або в параметричній формі у функції довжини кривої

де похідні визначаються з урахуванням формули Серрі-Френе

Проектуючи векторні вирази (1.3) на осі координат, отримаємо

Використовуючи (1.5), легко отримати вирази для хорди кривої

і кута між дотичною і хордою

При вивченні кривих на поверхні еліпсоїда найбільшу увагу буде приділено нормальному перерізу І геодезичної лінії. Наступ перетину нормальної площини з поверхнею еліпсоїда називається нормальним перетином.

Геодезична лінія з'єднує дві точки поверхні по найкоротшому віддалі.

У кожній її точці геодезична кривизна дорівнює нулю і, отже, головна нормаль збігається з нормаллю до поверхні.