Завдання 9.
За результатами спостережень над випадковою величиною Х знайти вибіркову функцію розподілу, вибіркове середнє і незсунену оцінку дисперсії.
-
хі
– 3
– 2
– 1
1
2
3
nі
1
7
25
10
5
2
Розв'язок
Знаходимо вибіркову функцію розподілу за формулою:
μn
Fn (Х) = –––––
n
де μn – кількість значень випадкової величини Х, менших за хі
n = 50 – загальна кількість спостережень.
0
При Х ≤ –3 μn = 0; Fn (Х) = ––––– = 0
50
1
При –3 < Х ≤ –2 μn = n1 = 1; Fn (Х) = ––––– = 0,02
50
8
При –2 < Х ≤ –1 μn = n1 + n2 = 1 + 7 = 8; Fn (Х) = ––––– = 0,16
50
33
При –1 < Х ≤ 1 μn = n1 + n2 + n3 = 1 + 7 + 25 = 33; Fn (Х) = ––––– = 0,66
50
43
При 1 < Х ≤ 2 μn = n1+ n2 + n3+ n4 = 1 + 7 + 25 + 10 = 43; Fn (Х) = –––– = 0,86
50
При 2 < Х ≤ 3 μn = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 1 + 7 + 25 + 10 + 5 = 48;
48
Fn (Х) = ––––– = 0,96
50
50
При Х > 3 μn = n = 50; Fn (Х) = ––––– = 1
50
Отже, вибіркова функція розподілу має вигляд:
0,
Х ≤ –3
0,02, –3 < Х ≤ –2
0,16 –2 < Х ≤ –1
F n (Х) = 0,66 –1 < Х ≤ 1
0,86 1 < Х ≤ 2
0,96
2 < Х ≤ 3
1, Х > 3
Знаходимо вибіркове середнє:
_ 1 1
хв = –– Σ хі nі = ––– [ (–3) · 1 + (–2 ) · 7 + (–1) · 25 + 1 · 10 + 2 · 5 + 3 · 2] =
n 50
– 3 – 14 – 25 + 10 + 10 + 6 –16
= –––––––––––––––––––––– = –––– = – 0,32
50 50
Знаходимо вибіркову дисперсію.
1 _ 1
δ2в = –– Σ х2і nі – ( хв )2 = ––– [ (–3) 2 · 1 + (–2 ) 2 · 7 + (–1)2 · 25 + 12 · 10 +
n 50
9 + 28 + 25 + 10 + 20 + 18
+ 22 · 5 + 32 · 2] – (–0,32)2 = –––––––––––––––––––––––– – 0,1024 =
50
110
= –––– – 0,1024 = 2,2 – 0,1024 = 2,0976
50
Знаходимо незсунену оцінку дисперсії.
n 50
S2 = ––––– · δ2в = ––– · 2,0976 = 2,1404
n – 1 49