Завдання 6.

Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(Х). Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини Х. Знайти закон розподілу

х

F (Х) = ∫ f (х) d (х).

- ∞

Побудувати графіки функцій f(х) та F(Х).

0, Х ≤ 3

f (Х) = 2 (х – 3) 3 < Х ≤ 4

0, Х > 4

Розв'язок

Знаходимо математичне сподівання М (Х):

∞ 4 4

М (Х) = ∫ х·f (х) d (х) = ∫ х · 2 (х – 3) d (х) = 2 ∫ (х² – 3х) d (х) =

- ∞ 3 3

х³ 3 х^{2 4} 4³ 3·4² 3³ 3·3²

= 2 · ( ––– – –––– ) = 2 ( –– – ––– – ––– + ––– ) =

3 2 3 3 2 3 2

64 27 128 – 144 – 54 + 81 11 11

= 2 ( ––– – 24 – 9 + ––– ) = 2 ( ––––––––––––––––––– ) = 2 · –– = –––

3 2 6 6 3

Знаходимо дисперсію D (х):

∞ ⁴ 11 2

D (Х) = ∫ х²·f (х) d (х) – [М(х)] ² = ∫ х² · 2 (х – 3) d (х) – (––– ) =

- ∞ 3 3

4 121 х⁴ 3х^{3 4} 121

= 2 ∫ (х³– 3х²) d (х) – ––– = 2· ( ––– – ––––) – ––– =

3 9 4 3 3 9

4⁴ 3·4³ 3⁴ 3·3^{3 4} 121 81 121

= 2 ( ––– – ––– – ––– + –––) – ––– = 2 ( 64 – 64 – ––– + 27) – ––– =

4 3 4 3 3 9 4 9

81 121 – 729 + 972 – 242 1

= 0 – ––– + 54 – –––– = ––––––––––––––– = –––

2 9 18 18

х

Знаходимо закон розподілу F (Х) = ∫ f (х) d (х).

- ∞

х

При Х ≤ 3 F (Х) = ∫ 0 d (х) = 0

- ∞

3 х Х^{2 х}

При 3 < Х ≤ 4 F (Х) = ∫ 0 d (х) + ∫ 2 (х – 3) d (х) = 0 + 2 (–– – 3 х ) =

- ∞ 3 2 3

Х² 9

= 2 ( ––– – 3х – –– + 9 ) = х² – 6 х + 9

2 2

3 4 х

При Х > 2 F (Х) = ∫ 0 d (х) + ∫ 2 (х – 3) d (х) + ∫ 0 d (х) =

- ∞ 3 4

Х² 4 4² 3²

= 0 + 2 ( ––– – 3х) + 0 = 2 ( –––– – 12 – ––– + 9) = 16 – 24 –9 + 18 = 1

2 3 2 2

Отже, закон розподілу випадкової величини Х має вигляд:

0, Х ≤ 3

F (Х) = х² – 6 х + 9 3 < Х ≤ 4

1, Х > 4

Будуємо графіки функцій f(х) та F(Х).

Графік функції f(Х):

f (Х)

2

Х

0 1 2 3 4

Графік функції F(Х):

F (Х)

1

0 1 2 3 4 Х