1.8.4 Обоснование проектных решений по математическому обеспечению

1.8.4.1 Метод усреднения индивидуальных оценок для определения очередности финансирования ремонтно-восстановительных мероприятий

Методы коллективного многокритериального анализа позволяют упорядочить заданную совокупность смет на ремонт (планируемые ремонтно-восстановительные мероприятия), оцененных несколькими экспертами по многим количественным и качественным критериям. Первый вариант в результирующей ранжировке принимается в качестве наиболее предпочтительного.

Один из простых методов коллективного упорядочения вариантов основывается на вычислении групповой многокритериальной оценки путем усреднения индивидуальных оценок, выраженных баллами. Блок-схема алгоритма представлена в приложении Д.

Сначала каждый вариант из заданной совокупности А₁,…,А_m оценивается каждым экспертом s (s = 1,…,t) по всем критериям К₁,…К_n, имеющим установленные шкалы оценок. Все количественные критерии имеют одинаковую бальную шкалу оценок, например от 0 до 10. Все качественные критерии имеют одинаковую вербальную шкалу оценок, например, с градациями: «очень высокая» (ов), «высокая» (в), «средняя» (с), «низкая» (н), «очень низкая» (он). Каждому варианту А_i ставится в соответствие группа из t кортежей :

= , (1.8)

где = (A_i). (1.9)

Формула (1.9) позволяет рассчитать оценку варианта A_i по критерию К_q, данная участником s (экспертом).

После этого необходимо вербальные оценки по «положительным» качественным критериям преобразовать в числовые балльные оценки. Их желательно максимизировать. Преобразование происходит следующим образом: «очень высокая» - 9, «высокая» - 7, «средняя» - 5, «низкая» - 3, «очень низкая» - 1. Вербальные оценки по «отрицательным» критериям, которые желательно минимизировать, преобразуются в числовые балльные оценки по следующему правилу: «очень низкая» - 9, «низкая» - 7, «средняя» - 5, «высокая» - 3, «очень высокая» - 1.

Каждый вариант A_i представляется группой, состоящей из t векторов (1.9).

Если критерии К₁,…К_n имеют для эксперта s разную важность, то для каждого критерия К_q определяется его индивидуальный вес . Веса критериев обычно нормированы:

= 1. (1.10)

Если эксперты обладают разной компетентностью и/или влиятельностью, то вычисляется показатель компетентности k^<s> эксперта s, например, по результатам опроса всех экспертов или итеративно по апостериорным результатам экспертизы. Показатели компетентности экспертов обычно нормированы (1.10).

В случае, рассматриваемом в дипломной работе, предполагается, что все эксперты обладают одинаковым уровнем компетенции.

Для каждого варианта A_i вычисляется групповая многокритериальная экспертная оценка как взвешенная сумма оценок по всем экспертам и всем критериям:

, (1.11)

где = (A_i) – индивидуальная оценка варианта A_i, данная экспертом s по скорректированному критерию K_q:

. (1.12)

Формула (1.12) позволяет рассчитать взвешенную сумму индивидуальных многокритериальных оценок i-го варианта экспертом s [14].

Упорядочение вариантов по предпочтительности строится по убыванию значения групповой экспертной оценки . Лучший вариант А^* определяется максимальной оценкой:

А^* arg . (1.13)

1.8.4.2 Метод экспертных оценок, использующий методы непараметрической ранговой корреляции для выбора наилучшего банка-кредитора

Начало применения математико - статистических приемов для изучения корреляционных зависимостей относится к 70 годам девятнадцатого столетия. Многие историки - статистики историю развития теории корреляции ведут от сороковых годов девятнадцатого столетия - от того времени, когда французский математик О. Браве предложил формулу для распределения двух случайных величин, удовлетворяющих требованиям закона нормального распределения.

Однако истинным основателем корреляционной теории считается английский математик - статистик К. Пирсон, создавший в конце девятнадцатого начале двадцатого веков данную теорию.

Изучение корреляции качественных признаков породило в общем учении о корреляции так называемую теорию рангов и основанную на ней теорию ранговой корреляции. На начальной стадии в рангах чаще всего видели просто удобный аппарат, благодаря которому удается обойтись без измерения абсолютной величины переменных и тем самым сэкономить время и усилия. Позднее статистика рангов смогла завоевать признание благодаря своим собственным достоинствам. М. Кендалл сконструировал показатель, который применим и для изучения частной корреляции между рангами.

Непараметрическими называются такие методы, которые не предназначены специально для какого-нибудь параметрического свойства распределений и не использует его свойства. Благодаря этому непараметрические методы имеют более широкую область применения.

Непараметрические ранговые методы - это бурно развивающаяся область математической статистики. История современных непараметрических методов, основанных на рангах, довольно коротка - всего лишь около 40 лет. Как показали статистические исследования, проведенные за последние 10-15 лет, ранговые методы в значительной мере лишены ряда недостатков для работы с малыми выборками, распределение которых неизвестно. Как известно, переход от самих наблюдений к их рангам сопровождается определенной потерей информации. Однако, эти потери не слишком велики. В анализе социально – экономических явлений часто приходится прибегать к различным, условным оценкам с помо­щью рангов, а взаимосвязь между отдельными признаками изме­рять с помощью непараметрических коэффициентов связи.

Ранжирование - это процедура упорядочения объектов изу­чения, которая выполняется на основе предпочтения.

Ранг - это порядковый номер значений признака, располо­женных в порядке возрастания или убывания их величин. Если отдельные значения признака имеют одинаковую количествен­ную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической от соответствующих номеров мест, которые определяют. Данные ранги называются связными.

В хронологической последовательности достижения целей дипломной работы встает вопрос выбора наилучшего банка-кредитора. Подобная ситуация складывается при недостатке денежных средств в соответствующем фонде, опи-санных в подпункте 1.8.4.1. Выбор банка осуществляется с помощью метода экспертных оценок, использующий методы непараметрической ранговой корреляции, поскольку данная задача является трудноформализуемой.

Для анализа положения банка в ранжированный ряд необходимо включить те типы показателей, которые в наиболее полной мере способствует целям и задачам ранжировки.

Задача выбора банка для кредитования заключается в выборе такого банка, который предоставит наиболее комфортную программу выплаты по кредиту на ремонт объекта жилищного фонда. При этом предполагается, что явно доминирующего кредитного учреждения в этом смысле нет. Блок-схема алгоритма реализации метода представлена в приложении Е.

Сущность метода экспертных оценок заключается в проведении экспертами интуитивно-логического анализа проблемы, с количественной оценкой суждений и формальной обработкой результатов. Полученное в результате обработки обобщенное мнение экспертов принимается как решение проблемы.

Методы ранговой корреляции в этой области являются едва ли не единственным путем обобщения экспертных оценок. А коэффициенты ранговой корреляции применяются для оценки тесноты связи между количественными и качественными признаками, значения которых могут быть упорядочены. Достоинство коэффициентов заключается в том, что нахождение этих коэффициентов не требует нормального распределения переменных и линейной связи между ними.

Чтобы решить задачу выбора банка для кредитования ремонта объекта подведомственного жилищного фонда, группе экспертов необходимо проранжировать предложенные кредитные учреждения по каждому фактору, а также сами факторы по их важности. В результате каждому фактору приписывается свой ранг и получается окончательное ранжирование факторов по степени важности. Результаты работы m экспертов относительно n факторов сводятся в матрицу размера (m n), которая называется матрицей опроса. Вид матрицы приведен в таблице 1.3.

Таблица 1.3 - Матрица опроса

Факторы	Эксперты
	1	2	…	j	…	M
1	a11	a12	…	a1j	…	a1n
2	a21	a21	…	a2j	…	a2n
…	…	…	…	…	…	…
i	ai1	ai2	…	aij	…	ain
Продолжение таблицы 1.3
Факторы	Эксперты
	1	2	…	j	…	M
…	…	…	…	…	…	…
n	a1m	a2m	…	amj	…	amn

Далее на основании матрицы опроса по формулам (1.14) - (1.15) строится матрица преобразованных рангов.

, (1.14)

где S_ij - значение преобразованного ранга;

a_max - значение максимального ранга матрицы;

а_ij - значение простого ранга.

, (1.15)

где R_i - сумма рангов i - ой строки матрицы.

В таблице 1.4 приведен общий вид матрицы преобразованных рангов.

Таблица 1.4 - Матрица преобразованных рангов

Эксперты	Факторы						Ri
	1	2	…	J	…	N
1 … m	S11 … Sm1	S12 … Sm2	… … …	S1j …. Smj	… … …	S1n … Smn		R1 … Rm

Иногда возникает ситуация, когда эксперт по каким-либо причинам затрудняется провести четкое разграничение между некоторыми факторами, тогда вводятся связанные ранги, которые рассчитываются по формуле:

, (1.16)

где - связанные ранги j – го эксперта;

к - количество связанных рангов.

Тогда сумма рангов (R_i ) определяется по формуле:

, (1.17)

Далее по данным матрицы преобразованных рангов определяется относительный вес каждого фактора по всем экспертам по формуле, причем, сумма всех должна равняться единице:

. (1.18)

Таким образом, на основании величины относительных весов расставляются ранги для рассматриваемых факторов. Самый высокий ранг получает фактор, относительный вес которого самый большой. Самый низкий ранг получает тот фактор, относительный вес которого самый малый.

В случае, когда сумма рангов (R_i) всех объектов совпадает и нет возможности определить большие или меньшие относительные веса рангов, поступают следующим образом : рассчитывают сумму квадратов рангов (D_i) для каждого объекта по формуле:

² . (1.19)

То есть, высший ранг присваивается фактору с наибольшей суммой квадратов рангов, а низший ранг, соответственно, объекту с наименьшей суммой квадратов рангов.

Одним из недостатков метода экспертных оценок является субъективность экспертных оценок. Для повышения степени объективности оценки проводится ранжирование сразу несколькими экспертами. При анализе оценок, расставленных экспертами, возникает необходимость проверки их согласования. Для этого применяется коэффициент Кендалла, который определяется по формулам (1.20)-(1.24), а в случае наличия связанных рангов - по формулам (1.16)-(1.17).

, (1.20)

где D - рассчитывается по формуле (15);

n - число объектов;

m - число анализируемых порядковых переменных.

, (1.21)

где r_ij – расставленные ранги.

В некотором смысле W служит мерой общности суждений группы экспертов. Значения коэффициента конкордации заключены на отрезке [0;1]. Увеличение коэффициента от 0 к 1 означает проявление большей согласованности суждений. Если все эти суждения совпадают, то W = 1.

Проверка значимости коэффициента основана на том, что в случае справедливости нулевой гипотезы об отсутствии корреляционной связи, при n > 7 статистика m(n – 1) W имеет приближенно  ² - распределение с k = n – 1 степенями свободы. Поэтому коэффициент конкордации значим на уровне , если m (n – 1)W >  ²_{, к} .

При наличии неразличимых объектов по признакам (связанных рангов) формула вычисления коэффициента конкордации несколько меняется. Тогда W определяется по формуле:

, (1.22)

где Т_j – рассчитывается по формуле:

, (1.23)

где t _j - количество связанных рангов по отдельным показателям.

Проверка значимости коэффициента при наличии связанных рангов осуществляется с помощью статистики ² по формуле:

. (1.24)

Для окончательного подтверждения правильности расставленных рангов, необходимо коэффициент конкордации проверить на значимость, то есть силу согласованности экспертов с помощью критерия согласия Пирсона. Для оценки силы согласованности экспертов при уровне значимости , равным 0,05 применяют отношение:

m (n – 1)W >  ²_{, к} , (1.25)

где n - число объектов;

m - число анализируемых порядковых переменных;

W - значение коэффициента конкордации;

 ²_{, к} - распределение с к = n – 1 степенями свободы и уровнем значимости , определяемое по таблице распределения статистики  ².

Таким образом, если выполняется отношение (1.25), то существует сильная согласованность между экспертами и их мнению можно доверять, и наоборот [16].

Для получения независимых экспертных заключений опрошены 3 специалис-та - члены собрания учредителей. Опрос осуществлялся с помощью экранной формы, в которой были перечислены критерии оценивания кредитных программ банков и их список.

Эксперты присвоили числовые ранги каждому из приведенных на форме фактору, а так же числовые ранги каждому банку по каждому фактору. Первый ранг присваивался наименее важному, по мнению экспертов, фактору. Второй - чуть более важному и так далее по восходящей. Высший ранг присваивался самому важному фактору.