Глава XI. Многочлены.

1. Кольцо многочленов от одной переменной над ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей

Определение 1. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочленом над кольцом K от переменной x называется выражение вида , где a_iK, причем лишь конечное число элементов a_i≠0.

a_i называется коэффициентом многочлена f(x) при степени i.

Множество всех многочленов над кольцом K от переменной x обозначается K[x].

Определение 2. Пусть f(x) и g(x) , где K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочлены f(x) и g(x) называются равными (алгебраически), если соответственно равны их коэффициенты при одинаковых степенях x.

Определение 3. Нулевым многочленом называется многочлен, все коэффициенты которого равны 0, и обозначается 0=0(x).

Определение 4. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f(x) , f(x)≠0(x). Число n называется степенью многочлена f и обозначается deg f =n, если a_n≠0 и a_i=0 при i >n.

По определению полагают, что степень нулевого многочлена равна , т.е. deg 0(x) .

Таким образом, если , то deg (deg ℕ {0}).

Согласно определению 2, добавляя или отбрасывая слагаемые с нулевыми коэффициентами, мы получаем многочлен, равный данному. Таким образом, всякий многочлен степени n может быть записан в виде

( ).

Тогда a₀ называется свободным или постоянным членом многочлена f(x), a_n - старшим коэффициентом многочлена f(x).

Определение 5. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , , причем n≥m.

Операции сложения и умножения многочленов из K[x] определяются по правилам

(1)

(2)

Теорема 1. Пусть K – ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда K[x] относительно операций по правилам (1) и (2) – также является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей 1(x)=1.

Доказательство. Проверим для K[x] все аксиомы ассоциативно-коммутативного кольца с единицей.

1. K[x], например, 0(x) K[x], так как все его коэффициенты равны 0K.

2. Операции «+» и «⋅» по правилам (1) и (2) являются алгебраическими на K[x] (т.е. K[x] замкнуто относительно этих операций). Действительно, пусть f(x) и g(x) K[x], из формул (1) и (2) следует, что коэффициенты многочленов f(x)+g(x) и f(x)⋅g(x) получаются путем сложения и умножения коэффициентов f(x) и g(x), т.е. элементов из K. В силу замкнутости кольца K относительно сложения и умножения, коэффициенты многочленов f(x)+g(x) и f(x)⋅g(x) принадлежат K. То есть f(x)+g(x)K[x] и f(x)⋅g(x) K[x].

3. <K[x], +> - абелева группа.

а) «+» ассоциативно на K[x]:  f(x),g(x),h(x)K[x] (f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))

б) «+» коммутативно на K[x]:  f(x),g(x)K[x] f(x)+g(x)=g(x)+f(x)

в) Существует 0(x)=0+0⋅x+0⋅x²+…+0⋅xⁿ+…  K[x] такой, что   K[x] : =

аналогично,

г)   K[x] существует  K[x] такой, что

=0+0⋅x+0⋅x²+…+0⋅xⁿ=0(x). Аналогично =0(x).

4. В K[x] выполняются дистрибутивные законы:

д)  f(x),g(x),h(x)K[x] (f(x)+g(x))⋅h(x)=f(x)⋅h(x)+g(x)⋅h(x)

h(x) ⋅ (f(x)+g(x)) =h(x)⋅f(x)+h(x)⋅g(x)

Таким образом, K[x] – кольцо.

5. Покажем, что K[x] – асcоциативно-коммутативное кольцо с 1.

е) «⋅» ассоциативно на K[x]:  f(x),g(x),h(x)K[x] (f(x)⋅g(x))⋅h(x)=f(x)⋅(g(x)⋅h(x))

ж) «⋅» коммутативно на K[x]:  f(x),g(x)K[x] f(x)⋅g(x)=g(x)⋅f(x)

з) В K[x] существует единичный многочлен 1(x)= 1+0⋅x+0⋅x²+…+0⋅xⁿ+… K[x] c коэффициентами b₀=1, b_i=0 для остальных i.   K[x]

=

справедливость а), б), д), е), ж) следует из того, что операции «+» и «⋅» над многочленами сводятся к соответствующим операциям над их коэффициентами – элементами из K, а в кольце K «+» и «⋅» коммутативны, ассоциативны и выполняются дистрибутивные законы.

Теорема доказана.