1.3. Усилия между параллельными проводниками

Рассмотрим вначале задачу для бесконечно тонких проводни­ков конечной длины с токами и . В этом случае легко аналитически найти индукцию в любой точке пространства. Поэтому для определения силы воспользуемся первым методом (см. 1.3).

Рис. 1.3. К определению силы взаимодействия двух параллельных проводников

Согласно закону Био—Саввара—Лапласа [1.15], элементарная индукция dB от тока в месте расположения элемента dx (рис. 1.3) равна

(1.11)

здесь —магнитная проницаемость воздуха, равная гн/м;

α — угол между током и лучом r от dy к рассматривае­мому элементу dx.

Полная индукция от проводника в элементе dx

(1.12)

Перейдем к новой переменной α

После подстановки у, r и dy в (1.12) получим

(1.13)

Сила, действующая на элемент dx, создаваемая проводником длиной l, равна:

(1.14)

Для определения полной силы, действующей на проводник , перейдем к переменной x. Полагая

(1.15)

Произведение зависит только от размеров проводников и их расположения. Назовем его геометрическим фактором , тогда

.

Если расстояние между шинами значительно меньше их длины , то (случай бесконечно длинных шин). При расчет по формуле

дает погрешность не более 5% (в сторону увеличения).

Для двух параллель­ных проводников разной длины, расположенных с любым сдвигом, получена очень удобная для расчета 'формула (рис. 1.3, б)

(1.16)

где ∑D — сумма диагона­лей трапеции, построенной на взаимодейству­ющих провод­никах, м;

∑S—сумма боковых сторон этой тра­пеции, м;

а — расстояние меж­ду проводника­ми, м

Электродинамическая сила, развиваемая между проводниками для различ­ного их расположения, мо­жет быть найдена с по­мощью формулы

Геометрический коэффи­циент берется из таблиц приложения VI.

При нахождении элек­тродинамических сил мы считали, что сечение про­водников бесконечно мало и весь ток идет по их гео­метрической оси. В дей­ствительности сечение проводников всегда конечно. Рассмотрим влияние конечного размера сечения проводников на величину электродинамической силы.

Рис. 1.4. Кривые для определения коэффи­циента формы, учитывающего конечные раз­меры поперечного сечения параллельных проводников (шин)

Можно показать, что для проводников круглого и труб­чатого сечений ЭДУ. не зависит от величины сечения. Иначе об­стоит дело в случае проводников прямоугольного сечения.

Рассмотрим взаимодействие двух параллельных проводников прямоугольного сечения при расстоянии между ними значительно меньшем, чем их длина (рис. 1.52, а).

С целью упрощения задачи примем, что толщина шины b очень мала по сравнению с ее высотой А. Вырежем из этих проводников два элемента высотой dy и dx и рассмотрим взаимодействие между ними:

(1.17)

Поскольку шины расположены симметрично, то вертикальная результирующая слагающая силы будет равна нулю, а элементарная горизонтальная слагающая

(1.18)

После двукратного интегрирования получим результирующую слагающую

н. (1.19)

Или

(1.20)

Где – коэффициент, учитывающий влияние формы сечения проводника, в данном случае равный:

(1.21)

В самом общем случае, когда толщина и высота сечения провода соизмеримы, коэффициент может быть найден аналитические, однако этот расчет получается громоздким, а конечный результат неудобен при использовании им.

При практических расчетах очень удобно пользоваться специальными кривыми (рис. 1.52, б). Независимой переменной здесь является отношение расстояния в свету a-b к полупериметру шины b+h.

В качестве параметра берется отношение толщины шины к ее высоте. Здесь следует иметь в виду, что для шин квадратного сечения поправочный коэффициент практически равен 1.

При расстоянии в свету между шинами, в два раза большем полупериметра, коэффициент весьма близок к 1 (

Таким образом, при с точностью ±5% можно считать, что ток течет по геометрической оси проводников ( . Кривые рис. 1.52, б также наглядно показывают, что при одном и том же расстоянии в свету в случае величина силы может быть значительно больше, чем при .