Интервальные статистические оценки.

Точечные статистические оценки не несут информации о точности полученных результатов, т.к. в результате мы имеем только одно значение.

Найдем интервал . Таким образом , чтобы для заданной вероятности .

Где  - теоретическое значение оцениваемой числовой характеристики,  -доверительная вероятность или надежность.

и - нижние и верхние границы интервала, они являются статистиками подлежащими определению. Тогда разница - - длина доверительного интервала и длина доверительного интервала зависит от объема выборки и доверительной вероятности, причем она увеличивается при уменьшении объема выборки и увеличении доверительной вероятности. При  =1 доверительный интервал совпадает со множеством значений оцениваемой числовой характеристики  .

1. Оценка математического ожидания нормальной случайной величины в случае известной дисперсии.

Пусть x принадлежит нормальному закону распределения

причем дисперсия ² известна , необходимо по выборке

построить доверительный интервал для математического ожидания m :

, где функция Лапласа , t- находится по таблице.

При этом необходимо , чтобы длина доверительного интервала была минимальной при заданной вероятности. Из теории вероятности известно, что при сделанных предположениях , статистика

m₁ -выборочная средняя или распределена по нормальному закону, что N(0;1), где функция четная.

Выбирая для t- доверительный интервал симметричный относительно начала координат, при этом длина интервала будет минимальной , получим, что , т.е. случайное событие эквивалентно неравенству

.

Умножим , выразим , получим доверительный интервал

,

m - высокая точность интервальной оценки, на практике t не берут близким к 1, в этом случае точность оценки будет высока.

2. Оценка математического ожидания нормальной случайной величины в случае неизвестной дисперсии.

В отличие от рассмотренного случая статистика t рассматривается как

.

где m₁ - также выборочная средняя;

- исправленная выборочная дисперсия;

Из теории вероятности известно, что статистика t имеет распределение Cтъюдента, говорят с (n-1) степенью свободы.

Аналогично предыдущему случаю:

;

- ищется по таблице распределения Стъюдента с (n-1) степенью свободы.

Если число степеней свободы >30, то распределение Стъюдента практически совпадает со стандартным нормальным законом.

3. Оценка дисперсий нормальной случайной величины в случае известного математического ожидания.

В этом случае статистика -состоятельная несмещенная оценка дисперсий.

.

Если раскрыть это соотношение, то

Э та статистика имеет распределение Пирсона с -степенями свободы, график этого распределения выглядит следующим образом

t₁ и t₂ выбирают так, чтобы

т.е. заштрихованная на рисунке площадь под графиком равна доверительной вероятности.

Условие минимума длины доверительного интервала

f(t₁)= f(t₂).

На практике удовлетворить этому условию трудно, поэтому поступают так:

Берут t₁ и t₂ и такими, чтобы заштрихованные на рисунке площади совпадали , тогда вероятность того, что

;

Тогда доверительный интервал для дисперсии

.

При большом числе степеней свободы >30 , распределение Пирсона совпадает с нормальным распределением.

4. Оценка дисперсии нормальной случайной величины в случае неизвестного математического ожидания.

Статистика t будет определяться таким образом, как

и распределение осуществляется по закону

степень свободы распределения Пирсона.

-исправленная выборочная оценка.

;

Причем t₁ и t₂ находим из таблиц распределения Пирсона с (n-1) степенью свободы по заданной доверительной вероятности .