Дисперсия вариационного ряда, ее свойства

( )-отклонение вариантов от среднего значения.

Дисперсией называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней.

;

- среднее квадратическое отклонение.

Пример Вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение распределения рабочих предприятия, по времени, затраченному на обработку одной детали.

xi	ni	xi		xi-	(xi- )2	(xi- )2ni
2-4 4-6 6-8 8-10 10-12	42 73 154 205 26	3 5 7 9 11	126 365 1078 1845 286	-4,4 -2,4 -0,4 1,6 3,6	19,36 5,76 0,16 2,56 12,96	813,12 420,48 24,64 524,8 336,96
Итого:	500		3700			2120

Свойства дисперсии.

1. Если все варианты увеличить или уменьшить в k-раз, то дисперсия увеличится или уменьшится k²-раз.

Пример: Вычислить дисперсию распределения рабочих цеха№2 по заработной плате.

;

Разделим варианты на их общий делитель равный 5, ;

Тогда вычитать будем 21 от соответствующих значений.

xi	xi/5	xi/5-21	ni	(xi/5-21)2	(xi/5-21)2 ni
75 85 95 105 115 125	15 17 19 21 23 25	-6 -4 -2 0 2 4	1 5 9 18 12 5	36 16 4 0 4 16	36 80 36 0 48 80
Итого:

2. Если варианты увеличить или уменьшить на одну и ту же величину, то дисперсия не изменится.

3. Если веса увеличить или уменьшить в одно и тоже число раз, то дисперсия не изменится.

Пример: Вычислить дисперсию цеха №3 рабочих по средней заработной плате. Разделим частоты на их наибольший общий числитель 4.

xi	ni	xi-	(xi- )2	(xi- )2 ni
95 105 115 125	1 2 8 4	-20 -10 0 10	400 100 0 100	400 200 0 400

;

;

4. Дисперсия относительно средней арифметической, равна дисперсии относительно произвольной постоянной , без квадрата разности между средней арифметической и этой постоянной.

;

Пример: Найти дисперсию распределения рабочих цеха№1 по заработной плате.

xi	xi-95	(xi-95)2ni	n
75 85 95 105 115 125	-20 -10 0 10 20 30	2800 1200 0 600 - -	7 12 15 6 - -
Итого:

;

.

5. Дисперсия равна средней арифметической квадрата варианта без квадратов средней арифметической.

;

Пример: Дано распределение рабочих по числу изготавливаемых деталей.

xi	ni	xi ni	xi2	xi2 ni
20 21 22 23 24 25	1 2 4 12 8 3	20 42 88 276 192 75	400 441 484 529 576 625	400 882 1936 6348 4608 1875
Итого:

; ;

;

Пусть совокупность разбита на l-непересекающихся групп. Групповой дисперсией называется дисперсия членов j-той группы относительно их средней групповой .

,m_lj- частоты вариантов в группе.

- объем группы.

Дисперсия распределения по тому же признаку всей совокупности относительно общей средней называется общей дисперсией.

Межгрупповой дисперсией называется средняя арифметическая квадратов отклонений групповых средних всех непересекающихся групп, от общей средней .

;

где N_j- объем групп;

.

Пример: Вычислить межгрупповую дисперсию рабочих по заработной плате и по цехам.

	Nj		2	2Nj
90 105 115	40 50 60	-15 0 10	225 0 100	9000 0 6000
Итого:

;

Средней групповых дисперсий называется средняя арифметическая групповых дисперсий:

;

Определить среднюю групповых дисперсий распределения рабочих по заработной плате и по цехам.

	Nj		Nj
90 105 115	40 50 60	90 140 200/3	3600 7000 4000
Итого:

.