Эмпирический закон распределения дискретных случайных величин

Пусть z_i -набор возможных значений дискретной случайной величины, который имеет следующий теоретический неизвестный ряд распределения, т.е.z₁,z₂,…z_n.

z_i	z₁	z₂	……	z_n
P_i	P₁	P₂	……	P_n

Относительной частотой называется статистика

где .

С точки зрения теории вероятности ,мы имеем при извлечении выборки для случайного события классическую формулу повторных событий Бернулли , т.е. в каждом из независимых испытаний , событие A_i происходит с теоретической вероятностью P_i , эта вероятность не зависит от номера испытания j , поэтому из закона больших чисел следует, что

,для любого >0.

Т.е. относительные частоты сходятся по вероятности к теоретическим вероятностям. Это дает основание считать частоту статистической оценкой теоретической вероятности P_i , которую нам надо было оценить.

z_i	z₁	z₂	……	z_n
_i	₁	₂	……	_n

Т.е. эта таблица является статистическим аналогом теоретического ряда распределения, изучаемой дискретной случайной величины и называется статистическим рядом распределения. Т.е. статистический ряд распределения является оценкой теоретического ряда распределения и сходится к нему по вероятности. Таким образом, получают эмпирический - опытный, статистический закон распределения дискретной случайной величины.

Т.е. для примера 1 эмпирический ряд распределения будет иметь вид:

z_i	z₁	z₂
	0	1
_i	0,475	0,525

Можно отметить свойства относительной частоты

Эмпирическая функция распределения

Известно, что функция распределения

F(x)=P(X<x),

Используя теорему сложения вероятностей , изменяя теоретические вероятности P_i , на их оценки _i получим эмпирическую функцию распределения для случая дискретной исследуемой случайной величины.

В случае непрерывной исследуемой случайной величины при извлечении выборки для случайного события A_i , имеем опять классическую схему Бернулли , поэтому теоретическая вероятность события A_i, определяемое в теории вероятности как P_i=F(y_i)-F(y_i-1) оценивается относительной частотой _i попадания точки выборки в i -тый класс. Перепишем эту вероятность середины i -класса, т.е. значение возьмем и далее строим эмпирическую функцию также как для случая дискретной случайной величины.

Полученная таким образом функция, является оценкой теоретической функции распределения F(x). Из теоремы Бернулли следует, что F_n(x) сходится по вероятности при объеме выборки , т.е. для любого >0 и для любого x .

Для 1-го примера:

Гистограмма

Графическое представление выборки называется гистограммой. Предварительно выборка подвергается группировке. Для этого весь интервал числовой оси, в который попадает значение выборки разбивают на несколько частичных интервалов, в которые попадают значения выборки. Интервалы бывают длиной h и находят ее для каждого частичного интервала n_i , т.е. сумму частот вариант, попавших в i-тый интервал. Над каждым из интервалов как на основании строится прямоугольник высотой .

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h , а высоты равны . Полная площадь равна объему выборки:

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h , а высоты равны , площадь гистограммы относительных частот будет равна

При увеличении числа испытаний и уменьшении длин частичных интервалов, ступенчатая ломанная, ограничивающая гистограмму, приближается к графику плотности f(x). Выравнивая ломанную плавной кривой, получим представление о графике функции f(x). .