Свойства корреляционных отношений

1. Корреляционные отношения не отрицательны и не превосходят 1.

2. Равенство 0 корреляционного отношения является необходимым и достаточным условием того, чтобы отсутствовала корреляционная связь y на x. Аналогично и x на y.

3. Равенство 1 корреляционного отношения является необходимым и достаточным условием того, чтобы между переменными y и x существовала однозначная функциональная зависимость.

4. Для одной и той же корреляционной таблицы, характеризующей связь между x и y, оба корреляционных отношения не меньше абсолютной величины коэффициента корреляции.

5. Выполнение равенства является необходимым и достаточным условием того, чтобы регрессия x на y была точно линейной , а выполнение равенства необходимым и достаточным условием того, чтобы регрессия x на y была точно линейной.

Преимущество корреляционного отношения по сравнению с коэффициентом корреляции состоит в том, что корреляционные отношения являются мерой тесноты какой угодно по форме корреляционной зависимости между y и x .

Понятие множественной корреляции

Переменная величина может зависеть не от одной, а от нескольких величин. Рассмотрим 3 величины, из которых одна статистически зависит от двух других переменных. Произведено n -наблюдений , составим таблицу.

xi	yi	zi	ni
x1 x2 …. xm	y1 y2 …. ym	z1 z2 …. zm	n1 n2 …. nm
			n

Простейшая корреляционная зависимость z от x,y -это линейная множественная корреляция.

z=ax+bx+c; (1)

a,b.c-числа.

Необходимо найти значение параметров a,b.c , чтобы вычисляемые по уравнению (1) значения возможно лучше, в смысле принципа наименьших квадратов, воспроизводили бы опытные данные:

-характеризует расхождение между наблюдаемыми и вычисляемыми значениями z . Сумма квадратов таких отклонений с учетом того, сколько раз наблюдалась каждая тройка соответствующих значений представляется:

Искомые параметры a,b.c ищем исходя из того, что функция S обладает экстремумами.

-уравнение регрессии.

Коэффициенты корреляции между парами переменных будут находиться аналогично.

Аналогично будет находиться такой же коэффициент

;

.

Теснота линейной корреляционной связи между переменными решается с помощью совокупного коэффициента корреляции, который выражается через коэффициенты регрессии пар переменных и имеет следующий вид:

.

Свойства совокупного коэффициента

1. Совокупный коэффициент изменяется от 0 до 1.

2. Если R=0 , то z не может быть связана с x и y линейной корреляционной зависимостью, при этом возможна не линейная корреляционная зависимость и даже функциональная зависимость между z,x и y .

3. Если R=1 , то z связана с x и y линейной функциональной зависимостью.

4. Если R отлично от 0 , и от 1 (т.е. от своих крайних значений), то при приближении к 1, теснота линейной связи z с x и y увеличивается.

Таким образом совокупный коэффициент- есть мера тесноты линейной корреляционной зависимости между z,x, y . На практике часто важно оценить влияние на z отдельно x ,и отдельно y .Это осуществляется с помощью частных коэффициентов корреляции. Частный коэффициент корреляции между z и x обозначается как

.

С его помощью оценивается теснота линейной корреляционной зависимости между z и x , когда y -остается постоянной. Теснота линейной корреляционной зависимости между z и y, когда x -постоянная, оценивается с помощью частного коэффициента корреляции между y и z .

;

каждый из выше рассмотренных частных коэффициентов изменяется от -1 до 1. Когда коэффициент , то исключается линейная корреляционная зависимость x и z , не линейная корреляционная зависимость и даже функциональная зависимость между x и z остаются возможными . Если этот коэффициент равен 1, то зависимость - линейно- функциональная.