Линейная корреляционная зависимость.

Линейная корреляционная зависимость- это вид линейной зависимости , корреляционная зависимость между x и y . При нахождении корреляционной зависимости на подвергается анализу расположение точек на числовой плоскости, после выбора функции

;

.

Задача сводится к нахождению параметров искомой функции по данным корреляционной таблицы. Наиболее важные - линейные зависимости. Рассмотрим и зависимость y на x . В прямоугольной системе координат построим точки . Предположим, что между переменными x и y существует линейная корреляционная зависимость y на x .

Искомой прямой служит та, которая в смысле принципа наименьших квадратов ближе других расположена к точкам A₁,A₂,…,A_s ,причем т. A₁ учитывается n_x1 -раз ,т.е. сколько раз встречаются в распределении соответствующие значения x_i. Прямая CD, ее уравнение y=ax+b. Возьмем на CD точки, обозначим их со штрихами - имеющие с точками A₁,A₂,…,A_s одинаковые абсциссы. Согласно метода наименьших квадратов, найдем сумму квадратов разностей ординат соответствующих точкам

Следовательно, S- сумма двух независимых переменных a и b . Для искомой прямой сумма минимальна, используя необходимые условия экстремумов функций , т.е обращение в 0 ее первых частных производных.

(1)

;

.

Разделим оба уравнения на объем совокупности n:

;

;

-общая средняя;

.

Возьмем слагаемое , вместо подставим сумму -это есть средняя арифметическая переменных и .

(2)

Из 1-го уравнения выразим b;

И подставим b:

;

(3)

Это уравнение- это прямая регрессии y на x проходит через точку . Причем точка - это средняя точка корреляционного графика , коэффициент в уравнении прямой регрессии называется коэффициентом регрессии y на x и обозначается как (4) .

Найдем из системы (2).

Подставим во 2-ое уравнение:

(5)

Знаменатель - это дисперсия переменной x относительно ее общей средней .

(6)

Аналогично можно составит уравнение прямой регрессии x на y . Для этого в прямоугольной плоскости координат отмечают точки C_j с координатами . Проводя аналогичные рассуждения мы получаем формулы для параметров c и d для уравнения x=cy+d , и уравнение искомой прямой регрессии x на y запишется в виде

(7)

-называется коэффициентом регрессии x на y и определяется также по формуле (5)

или ;

(8)

Отметим свойства коэффициентов регрессии.

1. Коэффициенты регрессии y на x и x на y имеют одинаковые знаки. Знаменатель всегда положительный , поэтому эти знаки определяются числителями.

2. Коэффициент регрессии y на x является условным коэффициентом прямой регрессии y на x , а коэффициент регрессии x на y величиной обратной угловому коэффициенту прямой регрессии x на y , из уравнений (4) и (7).

Составление уравнений прямых регрессий

Для того, чтобы найти уравнения (4) и (7), необходимо вычислить общие средние переменных x и y , а также коэффициенты регрессии. Вычисление и и дисперсий можно вести одновременно если использовать формулы:

;

;

;

;

Где c,c,k,k -произвольные постоянные.

Пример: для таблицы №1 составить уравнение корреляционной зависимости между количеством внесенных удобрений и урожайностью.

c=50;k=20

		xi-c
10 30 50 70	14 23 28 35	-40 -20 0 20	-2 -1 0 1	-28 -23 0 35	56 23 0 35
Итого:				-16	114

c=14;k=2

yj	nyj	yj-c
10 12 14 16 18 20	10 16 17 27 24 6	-4 -2 0 2 4 6	-2 -1 0 1 2 3	-20 -16 0 27 48 18	40 16 0 27 96 54
Итого:				57	233

	yj	10	12	14	16	18	20
xi		-2	-1	0	1	2	3
10 30 50 70	-2 -1 0 1	9 1 - -	4 10 2 -	1 9 6 1	- 3 14 10	- - 6 18	- - - 6	44 9 0 64
	8	38	18	0	7	36	11	117

;

;

;

;

Уравнение запишем:

y-15,4=0,113(x-46,8);

y=0,113x+9,852;

x-46,8=6,29(y-15,4);

x=6,29y-48,431;