13. Функция и плотность распределения системы двух случайных величин.

Функцией распределения системы двух случайных величин   называется вероятность совместного выполнения двух неравенств   и  : .

Свойства функции распределения.

1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству: .

2. Функция распределения F(x,y) есть неубывающая функция по каждому из аргументов т.е х₁ <х₂ = > F(х₁,у) £ F(х₂, у); у₁< у₂ = > F (х, у₁) £ F (х,у₂)

3. Если хотя бы один из аргументов функции распределения обращается в -∞, то функция распределения равна 0:

4. Если оба аргумента функции распределения F(x,y) равны +¥, то функция распределения равны 1.

5. Если один из аргументов обращается в +∞, то функция распределения F(x,y) становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу: .

Функция распределения - существует для систем любых случайных величин, как прерывных, так и непрерывных. Двумерная величина (X,Y) является непрерывной, если ее функция распределения F(х,у) представляет собой непрерывную, дифференцируемою функцию по каждому из аргументов и существует вторая смешанная производная  .

Плотность f(x,y) обладает следующими свойствами:

1. f(x,y)≥0;

2. 

Функция распределения системы (X,Y) через совместную плотность определяется так:

.

Совместная плотность распределения системы случайных величин (X,Y) позволяет вычислить одномерные законы распределения случайных величин X и Y :

;  .

14. Что такое интеграл вероятностей и для чего он используется,

Интеграл вероятности — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Интеграл вероятности (функция Крампа, интеграл ошибок) и близкие к ним функции являются одними из наиболее используемых в теории и практике специальных функций.  Это связано с тем, что данные функции непосредственно связаны с нормальным (гауссовским) распределением случайной величины, которые во многих случаях являются адекватной моделью многих процессов, происходящих в живой и искусственной природе. Они широко используются в теории вероятности, математической статистике, теоретической и математической физике, описывающей процессы теплопроводности, диффузии, броуновского движения, кинетической теории газов и т.д., в теории связи.

Интеграл вероятности определяется как . Дополнительная функция ошибок, обозначаемая   (иногда применяется обозначение  ) определяется через функцию ошибок: . Комплексная функция ошибок, обозначаемая  , также определяется через функцию ошибок: .

15. Как описывается и когда используется распределение Стьюдента?

Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Уильяма Сили Госсета, который первым опубликовал работы, посвящённые распределению, под псевдонимом «Стьюдент».

Определение

Пусть   — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что  . Тогда распределение случайной величины  , где

называется распределением Стьюдента с   степенями свободы. Пишут  . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

,

где   — гамма-функция Эйлера.

Свойства распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента симметрично. В частности если  , то  .

Моменты

Случайная величина   имеет только моменты порядков  , причём

, если   нечётно;

, если   чётно.

В частности, ,

, если  .

Моменты порядков   не определены.

Связь с другими распределениями

Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:  .

Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при  . Пусть дана последовательность случайных величин  , где  . Тогда:   по распределению при  .

Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть  . Тогда:  .

Применение распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднегостатистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть   независимые случайные величины, такие что  . Обозначим  выборочное среднее этой выборки, а   её выборочную дисперсию. Тогда

.