6.1.Задача управления запасами при случайном спросе.

Пусть для некоторого оборудования целесообразно иметь запасные части (для простоты одного наименования). Известно, что вероятность поломки n штук этих деталей равна Р(n). Стоимость одной детали равна C₁, убытки в случае поломки и отсутствия запчасти - C₂. Требуется определить оптимальное количество запасных деталей N, т. е. такое, чтобы суммарные затраты на приобретение и средние затраты из-за нехватки запчастей при поломке были минимальны.

Возможны два исключающих друг друга случая: n ≤N, когда запас перекрывает спрос, и n>N, когда имеется недостаток запчастей.

Итак критерием являются суммарные затраты на приобретение и средние затраты из-за нехватки запчастей при поломке[2]

N ∞

Y (N ) = C₁ ⋅∑ ( N − n) ⋅P(n) + С₂ ⋅ ∑(n − N ) ⋅P(n)

n =0 n=N +1

Подсчитывая значение целевой функции Y для (N+1) и (N- 1) и используя

равенство

∞

∑P(n) =1,

n=0

записываем

∞ N

∑ P (n) =1 − ∑P(n).

n= N +1 n=0

Окончательно получаем

N −1

Y (N +1) = Y (N ) + (C₁+C ₂ ) ⋅∑P(n) −C ₂

n=0

N

Y (N −1) = Y (N ) − (C₁+C ₂ ) ⋅∑P(n) +C ₂

n=0

Аналогично можно показать, что функция Y(N) минимальна, если выполняется

88

Y (N −1) > Y (N ) < Y (N +1);

							N
Y (N +1) −Y (N ) = (C1 + C2 ) ⋅∑P(n) −C2 > 0;
							n=0
							N −1
Y (N −1) −Y (N ) = −(C1 + C2 ) ⋅∑(P(n) + C2 > 0.
							n=0
		−1	C2
	N					N
∑ P ( n) <					< ∑P(n)
			C1 + C 2
					n=0

Вычисляя левую и правую части последнего неравенства, можно найти такое N=Nопт, при котором отношение C₂/(C₁+C₂) окажется заключенным между частями неравенства. Это значение N и является оптимальным.

Требуется разработать программу определения оптимального уровня запаса при случайном спросе и минимального значения целевой функции на основе алгоритма (рис. 6.1):

1. Ввести С₁,С₂.,Nmax, P[i] 2.С=С₂/(С₁ + С₂)

3. S=P[1]

для NO = 2, Nmax S=S + P[NO]

Если ( C ≤ S и С ≥ (S – P[NO]) идти на п. 4

4. S1 =S2 = 0 для j = 1, NO

S1 += (NO – j) ⋅ P[j] N = Nmax – NO

4. для k = 1, N

j = NO + k

S2 += (j - NO ) ⋅ P[j] Y = C₁ ⋅ S1 + C₂ ⋅ S2

Вывод NO, Y

Рис.6.1 Алгоритм решения задачи Рассмотрим основные системы УЗ.

89