9.3.Методика решения тз в ms excel.

Рассмотрим решение двухиндексной (у переменных два индекса) задачи,

122

суть которой заключается в оптимальной организации транспортных перевозок штучного товара со складов в магазины (табл. 9.3).

Исходные данные транспортной задачи					Таблица 9.3
Тарифы, руб./шт.	1-й	2-й		3-й		Запасы, шт.
1-й склад	2	9		7		25
2-й склад	1	0		5	50
3-й склад	5	4		100	35
4-й склад	2	3		6	75
Потребности, шт.	45	90		50
L (X) = 2x11 + 9x12	+ 7x13 + x 21 +	5x 23 + 5x 31 +
+ 4x 32 +100x 33 + 2x 41 + 3x 42 + 6x 43 → min			(9.3)

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ = 25 x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ = 50 x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ = 35 x₄₁ + x₄₂ + x₄₃ = 75

^x11 ^{+ x}21 ^{+ x}31 + ^x41 ^{= 45 x}12 ^{+ x}22 ^{+ x}32 + ^x42 ^{= 90} x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ + x₄₁ = 50

x_ij − целые, неотрицательные

Экранные формы, задание переменных, целевой функции, ограничений и условия (9.2) , а также решение представлены на рис. 9.6, 9.7,9.8 и в табл. 9.3.

Заметим, что поскольку решение должно быть найдено в целых числах(в штуках), необходимо в ограничениях указать, что числа целые.

123

Рис. 9.6. Экранная форма задачи (9.3) (курсор в целевой ячейке F15)

Рис. 9.7. Ограничения и граничные условия задачи (9.3)

		124
Формулы экранной формы задачи (9.3)		Таблица 9.4
Объект математической модели		Выражение в Excel
Переменные задачи		C3:E6
Формула в целевой ячейке F15		=СУММПРОИЗВ(C3:E6;C12:E15)
		=СУММ(C3:E3)
		=СУММ(C4:E4)
Ограничения по строкам в ячейках F3, F4, F5, F6		=СУММ(C5:E5)
		=СУММ(C6:E6)
		=СУММ(C3:C6)
Ограничения по столбцам в ячейках С7, D7, E7		=СУММ(D3:D6)
		=СУММ(E3:E6)
Суммарные запасы и потребности в ячейках H8,		=СУММ(H3:H6)
G9 соответственно		=СУММ(C9:E9)

Рис. 9.8. Экранная форма после получения решения задачи (9.2) (курсор в целевой ячейке F15).

Данная задача является сбалансированной, поскольку суммарные запасы (ячейка H8) и потребности (G9) совпадают и равны 185 шт.

Варианты заданий

В лабораторной работе предлагается решить следующую задачу. На складах

	125
хранится мука, которую необходимо завезти в хлебопекарни.
Номера складов и номера хлебопекарен выбираются в	соответствии с
вариантами табл. 9.4. Текущие тарифы перевозки муки [руб./т],	ежемесячные

запасы муки [т/мес.] на складах и потребности хлебопекарен в муке [т/мес.] указаны в табл. 9.4. При этом необходимо учитывать, что из-за ремонтных работ временно нет возможности перевозить муку с некоторых складов в некоторые хлебопекарни. В табл. 9 .4 это показано в графе "Запрет перевозки" в формате № склада x № хлебопекарни. Например, «2x3» обозначает, что нельзя перевозить муку со склада № 2 в хлебопекарню № 3.

Кроме того, необходимо учесть, что некоторые хлебопекарни имеют договоры на гарантированную поставку муки с определенных складов. В

табл. 9.4 это показано в графе	"Гарантированная	поставка"	в формате
№ склада x № хлебопекарни = объем	поставки.	Например,	«1x4=40»

обозначает, что между складом № 1 и магазином № 4 заключен договор на обязательную поставку 40 т муки.

Необходимо организовать поставки наилучшим образом, учитывая, что мука хранится и транспортируется в мешках весом по 50 кг. Таким образом, запасы и потребности необходимо пересчитать в мешки (задача становиться целочисленной), а также учесть, что тарифы должны быть также приведены к доставке мешков. Например, 77.86 т/мес : 0.05 т/меш =1557.2=1558 меш/месс (спрос округляем в большую сторону), тариф - 600руб/т∙0.05 т/меш =30руб/меш.

Номера складов, хлебопекарен, запрещенные и гарантированные поставки.

				Табл. 9.5
№	№	№	Запрет перевозки	Гарантированная
				поставка, т/мес.
Варианта	Складов	Хлебопекарен
1	1, 2, 3	1, 2, 3, 4	2x2, 3x4	3x3=50
2	2, 3, 4, 5	1, 2, 5	2x2, 3x5	3x2=40
3	1, 2, 4	1, 2, 3, 5	1x5, 2x3	4x3=45
4	1, 2, 3, 4	3, 4, 5	3x3, 4x5	3x5=40
5	1, 2, 5	2, 3, 4, 5	1x4, 5x3	1x5=60
6	1, 2, 3, 5	2, 3, 5	5x5, 2x2	3x5=30
7	2, 3, 4	2, 3, 4, 5	3x3, 2x5	4x3=45

126

8	1, 2, 3, 5		1, 2, 4	1x2, 5x4	3x2=20
9	2, 3, 5		1, 2, 3, 5	5x1, 3x5	5x2=30
10	2, 3, 4, 5		2, 3, 4	5x4, 3x2	4x3=35
11	3, 4,	5	1, 2, 3, 4	3x4, 5x1	4x1=40
12	1, 2,	3, 4	1, 2, 3	3x2, 4x1	2x2=50

	Запасы, потребности и тарифы перевозок								Таблица 9.6
					Хлебопекарни
	Склады
		1	2		3			4					5				Запас,
																	т/мес.
	1	400	600		800			200					200							80
	2	300	100		500			600					500							70
	3	500	200		100			600					300							60
	4	300	700		200			400					900							55
	5	200	500		800			200					400							65
	Спрос,	77,86	56,78		58,88			62,44					73,92
	т/мес.
	Невозможность		доставки	грузов		со второго								склада				в
третью хлебопекарню			задается	в модели с		помощью				запрещающего								тарифа,

который должен превышать величину тарифа (больше максимального), например, для данной таблицы с₂₃ = 1000 руб./т.

Когда суммарный объем предложения (грузы в пунктах отправления) не равен общему объему спроса (грузы, запрашиваемые в пунктах назначения) ТЗ называется несбалансированной. При решении задачи эффективным методом потенциалов несбалансированную задачу в зависимости от знака разницы объемов спроса и предложения сводят к сбалансированной введением фиктивных поставщиков или потребителей. Поскольку в Excel транспортные задачи решаются симплекс-методом, то несбалансированность учитывается изменением ограничений по спросу (если спрос превышает предложение) или по предложению (если предложение превышает спрос) на нестрогое равенство, т.е. в последнем случае требуется изменить знак в ограничениях:

∑n	xij ≤ ai ;i =
		1, m,
j=1

где a_i –объем поставок i– го поставщика.

127

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 10. ЗАДАЧИ МАРШРУТИЗАЦИИ.

Цель работы: В числе задач маршрутизации в транспортной логистике важное место

занимает задача коммивояжера. Целью работы является приобретение навыков решения данной задачи средствами MS Excel.

Имеется n пунктов, в которых должен побывать разъездной торговец - коммивояжер. Задана матрица стоимостей (расстояний, времени и т.п.) на переход между пунктами c_ij, i = 1, n и j = 1, n . Коммивояжер должен выйти из одного из пунктов, побывать во всех остальных пунктах по одному разу и вернуться в начальный пункт.

Необходимо найти порядок обхода, чтобы получить минимальную суммарную стоимость посещения всех пунктов.

Введем переменную x_ij

1, при переходе между пунктами i и j ^{xij =} 0, нет перехода между пунктами i и j

Необходимо найти множество {x_ij }, i = 1, n

Z =	n	n	c		x		→ min
	∑	∑
	j =1i =1			ij		ij	{xij }

.

и j = 1, n , дающее минимум

и выполнение ограничений
∑n	xij =1 ;	(10.1)
j=1
∑n	xij =1;	(10.2)
i=1
ui -uj +nx ij ≤ n-1,		i,j=2,…n, i ≠ j,	(10.3)

где u_i, u_j – целые неотрицательные числа, представляющие собой номера этапов, на которых посещаются соответственно пункты i и j.

Условие (10.1) означает, что коммивояжер выходит из каждого пункта один раз, а условие (10.2) – что он входит в каждый пункт только один раз. Условие (10.3) - сумма n элементов полученного пути меньше, либо равна (n-1) обеспечивает замкнутость цикла (контура) только на n-м этапе решения задачи.

Задача без учета условия (10.3), представляет постановку, аналогичную задаче о назначениях и отличается тем, что целевая функция стремится к минимуму

128

(Z→min). Если при ее решении получен замкнутый контур, то это

оптимальное решение, а иначе полученное значение целевой функции является той оценкой, которая всегда меньше или равна целевой функции (длине пути) с учетом условия (10.3).

Как известно, сформулированная задача решается методом ветвей и границ. В лабораторной работе на приведенном ниже примере будет рассмотрена методика решение задачи средствами программы MS Excel.

Пример.

Рис.10.1 Граф связей пунктов доставки Для сети, изображенной на рис. найти кратчайший путь объезда

всех пунктов, если: с₁₂=с₂₁=1км; c₁₃=c₃₁=4км; c₁₄=c₄₁=6км; c₂₃=c₃₂=3км; с₂₆=с₆₂=5км; c₂₇=c₇₂=1км; c₃₄=c₄₃=3км; c₃₅=c₅₃=5км; с₄₅=с₅₄=1км; c₄₈=c₈₄=4км; c₅₆=c₆₅=1км; c₅₈=c₈₅=2км; с₆₇=с₇₆=3км; c₆₈=c₈₆=4км; c₇₈=c₈₇=7км.

На рабочем листе Excel представлены исходные данные и табличная модель рассматриваемой задачи. Данные скомпонованы в виде трех матриц Коэффициенты целевой функции с_ij Переменные х_ij Система ограничений u_i - u_j + n*x_ij ≤ п - 1 и

вектора-строки Переменные u_ij.

В целевую ячейку, в данном случае Q32, необходимо занести формулу: Q32=CУMMПPOИ3B(P3:W10;P12:W19). В таблицу Система ограничений u_i - u_j

129

+ n*x_ij ≤ п - 1 заносятся формулы, соответствующие левой части третьей группы ограничения в системе ограничений.

Рис.10.2 Исходные данные и формулы

Рис.10.3 Ограничения задачи На рис. 10.4 представлены результаты работы программы

130

Рис. 10.4 Результаты

Рис.10.5 Граф решения Путь начинается в вершине с номером 1 в и ней же заканчивается, проходя

через остальные вершины в порядке возрастания значений переменной u_i. Полный замкнутый путь минимальной длины, который удалось найти

1→2→7→5→8→4→3→1. Общая длина – 19 км.

																	131
				Варианты
		Вариант №1											Вариант № 2
X	18	22	20	30		14		X		26		12		11	3		24
14	X	15	5	30		22		5		X		16		25	20		18
4	1	X	7	25		6		22		3		X		15	14		29
10	13	1	X	13		18		24		21		13		X	30		13
1	29	5	21	X		30		21		21		11		4	X		13
17	30	22	15	19		X		3		1		20		16	21		X
		Вариант № 3											Вариант № 4
X	1	19	19	26		3		X		17		9		28	7		26
5	X	23	6	24		2		16		X		21		3	24		19
26	17	X	4	22		19		15		14		X		25	24		8
24	4	30	X	2		6		4		10		6		X	25		27
30	25	11	14	X		14		3		29		25		25	X		1
6	5	30	21	18		X		2		9		29		1	13		X
		Вариант № 5											Вариант №6
X	10	28	6	22		14		X		20		30		6	19		1
26	X	22	14	18		24		25		X		20		27	23		24
12	1	X	28	27		18		30		17		X		6	21		21
11	3	12	X	17		4		29		28		16		X	25		13
1	18	19	7	X		29		27		5		18		18	X		28
16	13	22	7	8		X		28		26		20		13	10		X
		Вариант № 7											Вариант № 8
X	2	17	4	22		15		X		6		19		10	27		6
24	X	11	5	1		7		7		X		28		30	9		8
7	4	X	11	18		18		18		24		X		23	18		25
7	24	16	X	29		4		15		15		30		X	30		28
8	10	13	26	X		1		20		1		3		16	X		5
5	10	2	25	30		X		7		1		15		8	4		X

											132
		Вариант № 9						Вариант № 10
X	14	16	26	23	2	X	9	22	18	25	13
29	X	14	30	30	19	14	X	2	25	17	28
23	13	X	30	8	21	13	9	X	3	24	5
29	29	29	X	9	29	14	20	22	X	30	20
3	11	7	21	X	14	11	12	30	23	X	9
29	10	18	1	27	X	22	23	17	15	29	X
		Вариант № 11						Вариант № 12
X	12	28	30	13	25	X	26	8	2	11	21
5	X	12	8	6	19	28	X	12	19	4	10
10	8	X	22	2	7	6	4	X	7	7	27
18	26	23	X	23	18	21	24	20	X	12	20
22	21	27	11	X	18	2	13	18	22	X	15
19	9	1	9	7	X	1	1	29	17	21	X
		Вариант № 13						Вариант № 14
X	23	6	11	9	29	X	26	13	3	22	13
26	X	16	18	4	19	29	X	1	26	17	8
22	7	X	16	14	5	14	3	X	5	22	15
2	11	20	X	27	24	17	22	27	X	25	23
22	21	4	12	X	27	28	19	12	28	X	17
17	8	16	7	3	X	17	25	9	27	17	X
		Вариант №15						Вариант № 16
X	5	14	15	1	28	X	15	3	4	16	21
21	X	28	19	25	9	28	X	9	20	26	29
15	28	X	14	24	18	28	11	X	9	28	26
25	25	5	X	7	15	25	9	12	X	20	14
25	6	5	11	X	6	3	29	28	20	X	26
22	30	4	22	15	X	24	18	27	26	23	X
		Вариант № 17						Вариант № 18
X	24	5	14	11	1	X	27	13	4	1	23
30	X	25	3	22	8	1	X	22	10	1	5
26	24	X	21	18	29	29	21	X	17	25	21
25	8	19	X	10	13	23	15	29	X	27	23
13	30	9	10	X	3	16	20	15	19	X	1
26	20	15	17	5	X	10	16	27	19	1	X

133

ЛИТЕРАТУРА.

1. Гаджинский А.М. Практикум по логистике. - 8-е изд. перераб. и доп.,М: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2009, 312с

2. Логистика: Учебное пособие /Под ред. Б.А. Аникина.-М.:ИНФРА-

М,1997.-327 с.

3. Глухов В.В.,Медников М.Д.,Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента.-СПб: Издательсво «Лань»,2000.-480c

4. Банди Б. Основы линейного программирования. М.: Радио и связь, 1988

5. Андронов С.А. Методы оптимального проектирования. Текст лекций /

СПбГУАП,СПб.,2001.-169 с.

6. Андронов С.А. Промышленная логистика. Текст лекций /СПбГУАП,

СПб., 2007.-285 с.

7. Андронов С.А., Шамрай Я.Л. MyLogisticPro1- Программное обеспечение для имитационного моделирования систем управления запасами. – Системный анализ и логистика. Научный вестник кафедры системного анализа и логистики,

вып. от 15.04.2010, с 6-7 (http://www.salogistics.ru).

8. Саати Т. Математические модели конфликтных ситуаций. - М., «Сов.

радио», 1977. – 304с.

9. Андронов С.А. Модели и методы в системах поддержки принятия решений: учеб. пособие.-СПб.: ГУАП, 2008.-176 с.

10. http://www.ingit.ru

11. http://www.monitor-crm.ru

12. http://www.xjtek.ru

134

ПРИЛОЖЕНИЕ 1