9.1.Транспортная задача: планирование грузоперевозок
Транспортная задача, или задача планирования перевозок, подразумевает опре-деление количества товара, которое надо перевезти из одного места (пункт-отпра-витель) в другое (пункт-получатель). Обычно цель задачи - минимизировать затраты на перевозку или минимизировать расстояние. Ограничивающие факторы в таком типе задач — возможности пункта-отправителя и требования (спрос) в каждом пункте-получателе. В качестве ограниченных ресурсов выступают, к примеру, финансовые возможности предприятия, ограниченное число располагаемых человеко-часов, ограниченные возможности по завозу сырья и т.п.
Исходными данными задачи являются N поставщиков и M товаров, которые они поставляют, а также матрица размером MxN, содержащая затраты на поставку каждого товара каждым поставщиком. Известно также потребное количество товара каждого вида. Необходимо определить объемы закупок каждого товара у каждого поставщика таким образом, чтобы суммарные затраты (общая стоимость доставки) были минимальны (отметим, что в этой связи важное значение приобретает задача оптимального выбора месторасположения
117
распределительного склада). Приведем формальную постановку классической транспортной задачи:
-
n
n
f (x) = ∑∑cij xij → min
(затраты на перевозку)
i=1 j=1
∑n
xij = ai ,
i =
-
сумма элементов в i-ой стpоке матpицы X должна
1, m
j=1
быть pавна обьёму товаpа, котоpый есть у i-го поставщика (столько можем пеpевести). Кроме того xij – целые, неотрицательные.
∑n |
xij = bj , j = |
|
- сумма элементов в j-ом столбце должна быть pавна |
|
||||||
1, n |
|
|||||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
||||
объёму потpебления j-го потpебителя. |
|
|
||||||||
Достаточное условие существования допустимого решения задачи: |
|
|||||||||
m |
n |
|
|
|
|
|||||
∑ ai = ∑bj |
|
|
(9. 2) |
|
||||||
j=1 |
j=1 |
|
|
|
|
|||||
утверждает, что |
обьём |
товаpов, |
имеющийся у всех поставщиков, |
|
||||||
должен быть pавен обьёму товаpов, котоpый может быть потpеблён (тогда задача называется закpытой).
Пример 1. Торговая организация продает велосипеды с десятью скоростями. У фирмы есть склады в двух городах, Санкт-Петербурге и Москве. Три ее розничные торговые точки размещены вблизи Твери, Рязани и Новгороде — крупных потребительских рынков.
Требование продаж на следующий год в магазине Твери составляет 10 000 велосипедов, в магазине Рязани — 8000 велосипедов и в магазине Новгорода
— 15 000 велосипедов. Возможности складов ограничены. Склады в Санкт-Петербурге могут хранить и отгружать 20000 велосипедов, склады в Москве - 15000 велосипедов в год.
Стоимость перевозки одного велосипеда из каждого склада в каждый магазин различна, и затраты на перевозку одного велосипеда в у.е. приведены в
118
таблице. Компания хочет подстроить годовой график перевозок так, чтобы общие затраты на транспортировку были минимальными.
|
Исходные данные |
Таблица 9.1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
Куда |
|
|
|
Тверь |
Рязань |
Новгород |
|
||
|
|
|
|
|
|
Санкт-Петербург |
2 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Москва |
3 |
1 |
4 |
|
|
Чтобы сформулировать эту задачу, используя ЛП, обозначим x11 -количество велосипедов, отгруженных из Санкт-Петербурга в Тверь. Первая цифра в индексе оз-начает место отправления (склад), а вторая — место получения (магазин). Таким образом» в общем xi j означает количество велосипедов, перевозимых от места от-правления i в место получения j. Будем считать, что:
x12 — количество велосипедов, перевозимых из Санкт-Петербурга в Тверь; x13 — количество велосипедов, перевозимых из Санкт-Петербурга в Новгород; x21 — количество велосипедов, перевозимых из Москвы в Тверь;
x22 — количество велосипедов, перевозимых из Москвы в Рязань; x23 — количество велосипедов, перевозимых из Москвы в Новгород. Тогда целевая функция и сдерживающие факторы выглядят так:
общие затраты на перевозки =
-
2 x11
+ 3 x12 +5x13 +3x21 +1x22 +4x23 →min
При том, что
x11
+ x21
=10000 (спрос в Твери)
x12
+ x22
=8000 (спрос в Рязани)
x13
+ x23
=15000 (спрос в Новгороде)
x11
+ x12
+ x13
= 20000
(поставка из Санкт-Петербурга)
x21
+ x22
+ x23
= 15000
(поставка из Москвы)
Почему транспортные задачи являются особым классом задач линейного программирования? Дело в том, что коэффициент перед переменной в уравнениях ограничивающих факторов всегда равен 1. Решение, предложенное компьютером
119
для задачи, показано в таблице. Общая стоимость транспортировки составляет 9600 у.е.
В качестве иллюстрации описание постановки задачи приведено в авторской разработке - программе LinPro, где форма задания целевой функции и ограничений, в отличии от MS Excel, имеют более наглядный вид. Алгоритмическая основа программы использовала материалы, изложенные в [4]. Решение приведено на рис рис.9.2 и 9.3 соответственно.
Рис. 9.2 Описание задачи
Рис.9.3 Результаты