7.2.Замена оборудования с целью предупреждения отказа.

Рассмотрим следующую задачу (рис.7.2). Пусть в эксплуатации находится некоторое оборудование. Допустим, что известны затраты, связанные с отказом оборудования (брак готовой продукции, простой и т. д.), включая затраты на замену С_от=100 руб., а также известны затраты на одну замену С_З=50 руб. (предупредительную замену). Известно количество не отказавшего оборудования n(t) ко времени t. Требуется определить оптимальный интервал между последовательными заменами оборудования, при котором минимизируются средние затраты на единицу времени. Вероятности отказа работы оборудования известны.

Вероятность исправной работы оборудования свыше времени t(функция живучести оборудования)

P(T ≥ t) = P(t) = _nⁿ₍⁽₀^t)₎ ,

где n(t) —количество не отказавшего оборудования ко времени t из n(0) обследованных.

Среднее время безотказной работы оборудования за время t (средний аварийный возраст)

t −1

Q_t = ∑P(i) .

i=0

Ymin

111

Задача состоит в разработке программы определения оптимального времени замены оборудования, при котором величина суммарных

затрат принимает минимальное значение. Приведем алгоритм расчета времени замены:

1. Ввести С_от – затраты, связанные с отказом оборудования; C_z – затраты на одну замену; T_с – срок службы; N - общее кол-во оборудования; n(t) – количество не отказавшего оборудования .

2. Y[1]= C_z;

= Y[1];

Q[1] = 1; TN = N; P[1] = n[1]/ TN ;

3. для t = 2, T_c

P[t] = n[t] / TN

Q[t] = Q[t-1] + P[t-1}

Y[t] = (C_от ⋅ (1- P[t-1]) + Cz ⋅ P[t-1]) / Q[t]

Если Y[t] > Y_min продолжить; Иначе

Y_min = Y[t]; to = t

4.	Вывести t, n[t], P[t],				Q[t]. Y[t]
		Результат t0, Ymin
		Рис.7.2 Алгоритм расчета времени замены оборудования
	Исходные данные по вариантам представлены в табл. 7.2. (вариант 1
содержит пример вычисления Q(t))
			Исходные данные													Таблица 7. 2
Показатель							Время работы оборудования t
			0	1			2	3		4		5		6		7		8
Вариант 1		n(t)	200	190			180	160		100		40		20		10		0
		P(t)	1	0,95			0,9	0,8		0,5		0,2		0,1		0,05		0
		Q(t)		1			1,95	2,85		3,65		4,15		4,35		4,45		4,5
Вариант 2		n(t)	350	320			300	280		220		180		120		40		0
		P(t)	1	0,92			0,87	0,83		0,75		0,42		0,31		0,1		0
Вариант 3		n(t)	160	140			110	95		80		65		35		20		0
		P(t)	1	0,98			0,83	0,74		0,36		0,22		0,08		0,02		0

112

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 8. ЗАДАЧА УПОРЯДОЧИВАНИЯ.

Данная задача относится к классической задаче упорядочения, т.е. задаче определения оптимальной последовательности обработки изделий, массивов информации, определения наилучших маршрутов движения и т. д. В отечественной практике задачи согласования имеют специальное название — сетевое планирование и управление.

Это задачи, в которых исследуются процессы, состоящие из комплекса взаимосвязанных операций (работ, событий, экспериментов), четко разграни-ченных по продолжительности выполнения, по ресурсам, затрачиваемым на операции, а также по месту выполнения с целью оценки ожидаемого развития процесса во времени и выявления операций, наиболее важных с точки зрения сроков завершения всего процесса в целом. В ряде случаев решается также задача учета ресурсов.

Конкретно, задача обработки деталей относится к классу детерминированных задач упорядочения, т.е задач с точно известной продолжительностью операций.

Рассмотрим постановку задачи на числовом примере. Пусть имеется несколько деталей, каждое из которых должно быть обработано на двух станках. Допустим, что известны время обработки и последовательность обработки каждого изделия на каждом станке (табл. 8.1 ). Требуется выбрать такой порядок обработки деталей, при котором суммарное время обработки будет минимальным (или суммарное время ожидания обработки изделии на станке ).

									Таблица 8.1
Номер детали		j		1	2	3	4	5	6
Время обработки на пер-	t1j		6		4	6	5	7	4
вом станке
Время обработки на вто-	t2j		5		2	3	6	6	7
ром станке

Перечислим ограничения задачи:

113

1. время перехода детали от одной машины к другой незна-чительно, и им можно пренебречь;

2. каждая деталь обрабатывается в определенном технологическом порядке;

3. каждое обслуживание должно, быть завершено прежде, чем начнется следующее. Обозначим t_1j время обработки j-й детали на первом станке, а t₂j — время обработки j-й детали на втором станке.

Пусть T -полное время, которое пройдет от начала обработки первой детали

на первом станке до конца обработки последней детали на втором станке.

Пусть t_nj — время простоя второго станка между концом выполнения работы по обработке (j—1)-й детали на втором станке и началом обработки j-й детали на том же самом станке. Тогда суммарное время обработки деталей составит

m	m
T = ∑t2 j + ∑tnj
j=1	j=1

а так как сумма

m

∑^t2 j

j=1

известна и равна 29, то надлежит минимизировать сумму:

m ∑^tnj ^. j=1

Известен алгоритм для нахождения оптимальной последовательности порядка обслуживания т требований на двух пунктах обслуживания (алгоритм Джонсона)[2]. При этом каждое из требований должно пройти сначала обслуживание на первом пункте, а затем на втором. Продолжительности обслуживания требований различные. Если использовать метод прямого перебора, то при наличии требований (изделий) и двух пунктов обслуживания (cтанков) и при условии, что все виды требований обрабатываются в одинаковом порядке, существует т! возможных вариантов (последовательностей). Для нашего примера имеется 720 вариантов.

Алгоритм включает следующие основные этапы:

1. поиск наименьшего элемента.

												114
Ищем в табл. 8.1 наименьший элемент (равен 2, относится
ко второму станку)
Иллюстрация к работе алгоритма								Таблица 8.2
Номер изделия				j	1		2	3	4		5	6
Время	обработки	на	первом	t1j	6		4	6	5		7	4
станке
Время	обработки	на	втором
станке				t2j	5		2	3	6		6	7
Номер цикла						4	1	2	4		5	3

2) перестановка деталей. Определяется местонахождение элемента, если этот элемент относится к первому станку, то столбец с выделением поставить на первое место, если ко второму, то поставить на последнее место календарного плана (табл. 8.2). При наличии равных минимальных элементов в обеих строках деталь с минимальным временем обработки на первом станке ставится на первое место, а на втором станке — на последнее. Если же одинаковые минимальные элементы оказываются в первой (второй) строке, то на первое (последнее) место ставится деталь, которой соответствует меньший элемент второй (первой) строки;

3) вычеркивание из таблицы столбца, отмеченного выделением, и

возвращение к п. 1 и так далее, пока не будет исчерпан список всех деталей.

			Иллюстрация к работе алгоритма							Таблица 8.3
Номер изделия				j	6	4	5		1		3		2
Время	обработки	на	первом	t1j	4	5	7		6		6		4
станке
Время	обработки	на	втором	t2j	7	6	6		5		3		2
станке

В результате получим оптимальную последовательность обработки изделий на двух станках (табл. 8.3). При этом минимальное для нашего примера

m
∑tnj = 5.	Tmin = 34.
j=1

Последняя графа таблицы(номер цикла) показывает последовательность вы-черкивания столбцов для данного примера.

115

Класс задач, к которым применим алгоритм Джонсона, ограничен. Решение же методом прямого перебора всех возможных вариантов

уже при десяти изделиях требует более 3 млн. переборов. В некоторых задачах упорядочения для решения можно, использовать методы линейного программиро-вания.

В данной работе поставлена задача разработать программу для определения оптимального порядка обслуживания требований на двух станках, общее время обслуживания и время простоя второго станка на основе исходных данных из приведенных выше таблиц и следующего алгоритма (рис.8.1).

Ввод N – число требований; Ti,j – время обслуживания требований на j-й станок (i = 1, N; j=1,2)

Si,j = Ti,j (i = 1, N; j=1,2)

k =l = 1

Если T_1,1 > T_{1,2 ,} то { S_min = T_1,2; ii = 1, jj = 2 }

Иначе

{S_min = T_1,1; ii = 1;jj = 1 } Для i = 2, N ; j = 1,2

Если Ti.j ≤ S_{min ,} то { S_min = Ti,j; ii = i; jj = j }

Если jj =1 , то { LO[k] = ii; k++;} Иначе {LO[N-L+1] = ii; l++ }

T_ii,1 = 10¹⁰ ; T_ii,2 = 10¹⁰

Если l+k ≠N+2 , то идти на п. 4 иначе

{ THP1[1] = 0;THP1[1]=S[LO[1], 1]; THP2[1] += S[LO[1],2]; TH2 = THP2[1]} Для k=2,N

{

THP1[k] = TKP1[k-1]

THP1[k] += S[LO[k],1]

Если THP2[k-1] ≥ THP1[k] , то THP2[k]=TKP2[k-1]

Иначе

{ THP2[k] = THP1[k]; TH2+=TKP1[k] – TKP2[k-1]}

116

THP2[k] = THP2[k] + S[LO[k],2]

}

TH1 = TKP2[N] – TKP1[N]

Печать LO[i] , i=1,N (последовательность обслуживания) TH2 – время простоя второго станка.

Рис.8.1 Алгоритм упорядочивания Джонсона

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 9. КЛАССИЧЕСКАЯ ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА И ЗАДАЧА

О НАЗНАЧЕНИИ .

Цель работы: Целью работы является приобретение навыков формализации и решения транспортной задачи и задачи о назначении, которые относятся к классу

двухиндексных.