Кастильяно теоремасы

Берілген арқалық Р₁,Р₂ күштерінің әсерінен иіледі (бірінші күй, ІХ.8-сурет). Күш әсер еткен қималардагы иілу мөлшерін у₁,у₂ арқылы белгілесек

IX. 08

IX. 13

dP күшінің орнына dM - ді қарастырып, киманың бұрылу бұрышын табуға болады

IX. 14

Сонымен, потенциалдық энергиядан жалпылама күш бойынша алынған туынды жалпылама орын ауыстыруга тең. Бұл теорема Кастильяно теоремасы деп аталады.

Өзара жұмыс туралы теорема

Арқалықтың бірінші қимасы Р₁ күшінің әсерінен у₁₁ шамасына орын ауыстырсын (I күй, ІХ.11, а-сурет). Енді осы арқалыққа Р₂ күші әсер етсе, бірінші қима қосымша у₁₂ шамасына орын ауыстырады (II күй). Иілу мөлшерлерінің у₁₂ бірінші индексі Р₁ күші әсер етіп тұрған қиманың сол күштің бағытында орын ауыстыруын, ал екінші индексі қиманың орын ауыстыруына себепкер екінші бағыттағы күшті көрсетеді.

Сыртқы күштердің толық жұмысы

IX. 15

мұндағы Р₁y₁₂ — Р₂ күші әсерінен Р₁ күшінің у₁₂ шамасына орын ауыстырған кезінде жасаған жұмысы.Осыдан

P₁y₁₂ = P₂y₂₁ IX. 17

ягни Р₂ күшінің әсерінен Р₂ күшінің y₁₂ шамасына орын ауыстырған кезінде жасаған жұмысы Р₁ күшінің әсерінен Р₂ күшінің y₂₁ шамасына орын ауыстырған кезінде жасаған жұмысына тең.

Мор интегралы

Арқалыққа шамасы бірге тең Р күші әсер етсе, ол иіліп, I күйден II күйге өтеді. Күш әсер етіп тұрған қима δ₁₁ шамасына орын ауыстырады. Сонда, жасалған жұмыс

Енді II күйдегі жүйеге Р күші әсер етсін (III күй, ІХ.12-сурет), Бірінші қима қосымша δ_1p ал Р күші әсер етіп тұрған екінші қима δ_pp шамаларына орын ауыстырады.

Күштердің толық жұмысы:

IX. 18

мұндағы (1/2)Р δ_pp — Р күшінің δ_pp шамасына орын ауыстырғандагы жұмысы, 1 δ_1p — шамасы бірге тең P күшінің δ_1p шамасына орын ауыстырғандағы жұмысы,

Деформацияның потенциалдық энергиясын ішкі күш арқылы өрнектесек

мұндағы , — сыртқы Р күшінің әсерінен қимада пайда болған ию моменті. — шамасы бірге тең күштің әсерінен қимада пайда болған ию моменті.

Жақшаны ашсақ

IX. 19

екенін көреміз.

Енді (IX. 18, ІХ.19) теңдіктерін мүшелеп салыстырайық

Олай болса,

IX. 20

Сонымен, қиманың орын ауыстыру шамасын анықтау үшін сол қимаға (иілу мөлшерін іздеген бағытта) шамасы бірге тең күш әсер еткіземіз. Сыртқы күш Р мен шамасы бірге тең күштерінің әсерінен қималарда пайда болған ию моменттеріиің өрнектерін Мор интегралына енгізіп интегралдап, иілу молшерін (орын ауыстыру) анықтаймыз.

Арқалық бірнеше аралықтан тұрса, Мор интегралы ию моментінің өзгеру заңдылығы тұрақты әр аралық үшін жеке есептеліп, нәтижелері қосылады.Қиманың бұрылу бұрышын табу үшін сол қимаға шамасы бірге тең момент әсер еткізіп, көрсетілген тәртіп пен Мор интегралын анықтайды.

Верещагин әдісі

Мор интегралын А. Н, Верещагин ұсынған әдіспен оңай есептеуге болады. Ол үшін сыртқы және шамасы бірге тең күштердің әсерлерінен қималарда пайда болған ию моменттерінің эпюрлері пайдаланылады. Бұл әдісті аталган эпюрлердің бірі түзу сызықты болғанда ғана қолдануға болады. Ал қалған екінші эпюр түзу сызықты немесе қисық сызықты бола беруі мүмкін (ІХ.Н-сурет). Арқалықтың қатаңдыгы өне бойында тұрақты десек,

мұндағы эпюрі ауданының ауырлық центрінің тұсындағы бірлік момент эпюрінің ординатасы.

Сонымен, Верещагиннің әдісі бойынша қиманың бұрылу бұрышы мен орын ауыстыру шамасы, әр аралықтардағы сыртқы күштің ию моментінің эпюрінің ауданын сол эпюрдін ауырлық центрінің тұсындағы бірлік ию моментінің эпюрінің ординатасына көбейтіп, көбейтінділерін қосқанға тең. Яғни

IX. 21

Вереіңагин әдісі эпюрлерді көбейту әдісі немесе графикалық әдіс деп те аталады. Аралықтағы эпюр күрделі болса, ол қарапайым фигураларға жіктеліп, әр фигура үшін Вереіңагин әдісі жеке қолданылып, нәтижелері қосылады.

10-ДӘРІС. КЕРНЕУЛІК КҮЙЛЕР

1. НЕГІЗГІ ТҮСІНІКТЕР. СЫЗЫҚТЫҚ КЕРНЕУЛІК КҮЙ

2. ЖАЗЫҚ КЕРНЕУЛІК КҮЙ

3. БАС КЕРНЕУЛЕР. БАС АЛАҢШАЛАРДЫҢ ОРНАЛАСУ ОРНЫ

4. ГУКТЫҢ ЖАЛПЫЛАМА ЗАҢЫ

5.КӨЛЕМДІК КЕРНЕУЛІК КҮЙДЕГІ ДЕФОРМАЦИЯНЫҢ ПОТЕНЦИАЛДЫҚ ЭНЕРГИЯСЫ.

6. БЕРІКТІК ЖОРАМАЛДАРЫ (ГИПОТЕЗАЛАРЫ

НЕГІЗГІ ТҮСІНІКТЕР

Кернеу дегеніміз, сыртқы күш әсерінен, денедегі шексіз кіші бөлшектердің арасындағы байланыс күштерінің өзгеру шамасы. Сыртқы күш шексіз кіші бөлшектерді бір-бірінен ажыратуға, ығыстыруға тырысса, ішкі кернеу, керісінше, бөлшектердің орын ауыстыруына кедергі жасап, дененің тұтас үздіксіз күйін сақтауға тырысады, Материалдардың тұтастығы туралы жорамал бойынша, кез келген шексіз кіші бөлшек (нүкте) өзі сияқты бөлшектердің қоршауында тұрып, олармен әр түрлі бағытта әр түрлі күштермен (кернеулермен) әсерлеседі.

Нүктенің жанынан бөлініп алынған, куб тәріздес элементтің аудандарындағы кернеулері белгілі болса, онда ол нүктенің кернеулі күйі анықталған деп есептелінеді (ІV.1-сурет). Өйткені осы кернеулер арқылы нүктенің жанындағы, аудандары өзара параллель емес, кез келген элементтерінің белгісіз кернеулерін анықтауға болады. Нүктенің жанынан алынған сан алуан элементтердің ішінде аудандарындағы жанама кернеулері нөлге тең элемент біреу-ақ. Бұл элементтің өзара перпендикуляр үш аудандарын бас аудандар, ал олардың тік кернеулерін бас кернеулер деп атайды.

Бас кернеулер — берілген нүктенің кернеулі күйін сипаттайтын тұрақты шамалар. Олар шамалары мен таңбаларына байланысты ең үлкені σ₁, ортаншысы σ₂, ең кішісі σ₃ арқылы белгіленеді.

Бас кернеулерінің үшеуі де нөлге тең емес нүктенің кернеулі күйі көлемді кернеулі күй делінеді (ІV.2, а-сурет). Бас кернеулерінің бірі нөлге тең, ал қалған екеуі нөлге тең емес нүктенің кернеулі күйі, екі осьтік немесе жазық кернеулі күй деп аталады (IV_.2, б-сурет). Бас кернеулерінің екеуі нөлге тең болып, қалған біреуі нөлге тең емес нүктенің кернеулі күйі, бір осьтік немесе сызықтық кернеулі күй деп аталады (IV.2, в-сурет). Нүктенің сызықтық кернеулі күйі қарапайым, ал калған екеуі күрделі кернеулі күйлер деп ажыратылады.

СЫЗЫҚТЫҚ КЕРНЕУЛІ КҮЙ

Сызықтық кернеулі күйде тек созылған немесе сығылған брустардың нүктелері ғана емес, иілген арқалықтардың, сондай-ақ күрделі деформацияланған стерженьдердің нүктелері де болуы мүмкін (IV.3-сурет). Созылған (сығылған) брустың кез келген көлденең қимасындағы бірқалыпты таралған тік кернеу келесі формуламен анықталады (IV.4, а, б-сурет)

мұндағы N — бойлық күш, Ғ — көлденең қиманың ауданы. Бір ауданы көлденең қима жазықтығында жатқан, A нүктесінің жанынан бөлініп алынған шексіз кіші элемент сызықтық кернеулі күйде (IV.4, в-сурет).

Енді брустың көлбеу қимасындағы кернеулерді анықтайық. Көлбеу қиманың орны, оған тұрғызылған нормаль υ_а мен бойлық осьтің арасындағы α бұрышымен анықталады. Бойлық осьтен сағат тіліне қарсы бағытта салынған бұрыш оң, ал кері бағытта салынған бұрыш теріс болып саналады. Көлбеу қиманың бірлік аудандарында бірқалыпты жайыла таралған, бойлық оське параллель кернеулер,

толық кернеулер деп аталып, келесі формуламен анықталады (IV.4, г-сурет)

IV.01

мұндағы екенін ескерсек,

IV.02

Берілген В нүктесіндегі толық кернеуді қима беті мен нормаль бағыттарына жіктейік. Толық кернеудің нормаль бағытына түсірілген проекциясы (құраушысы) көлбеу жазықтықтағы тік кернеу деп (σ_α ), ал көлбеу қимаға түсірілген проекциясы жанама кернеу (τ_α ) деп аталады (IV.4, д-сурет).

Суреттен

IV.03

IV.04

ал толық кернеу

IV.05

екенін көреміз.

Еңді берілген көлбеу қимаға перпендикуляр, бойлық ось пен нормалінің арасындағы бұрышы β-ға тең көлбеу кимадағы кернеулерді анықтайық. Oл үшін екенін ескеріп, жоғарыда алынған (IV.О3) теңдіктерін пайдаланамыз.

IV.06

IV.07

Өзара перпендикуляр көлбеу қималарда жатқан В нүктесінің жанынан шексіз кіші элемент бөліп алайық (IV.4, е-сурет). Алынған (IV.О3, IV.04, IV.06, IV.07) теңдіктері А, В элементтерінің аудандарындағы кернеулердің арасындағы байланыстарды өрнектейді. Енді α бұрышының өзгеруіне байланысты σ_а мен τ_а кернеулерінің өзгеруін зерттейік:

1. α= 0° болғанда, σ_а = σ_z, τ_а = 0.

2. α= 45°болғанда, σ_а =σ_β= σ_z/2, τ_а= σ_z/2, яғни көлбеу қимадағы тік және жанама кернеулер көлденең қимада әсер етіп тұрған тік кернеудің жартысына тең. Бұл қимадағы жанама кернеудің абсолют мәні кез келген басқа қималарда пайда болатын жанама кернеулердің мәндерінен үлкен, өйткені α= 45° болғанда (IV.04) теңдігіндегі тригонометриялық функция (sin 2α) өзінің ең үлкен мәніне ие болады.

3. α= 90° болғанда σ_а = 0, τ_а = 0, яғни брустың кез келген бойлық жазықтықтарында тік және жанама кернеулер нөлге тең.

Қорыта келгеңде, кез келген көлбеу қимадағы (В нүктесі) тік және жанама кернеулер көлденең қимадағы (A нүктесі) тік кернеуден әрқашанда кіші.

Созылған (сығылған) брустың кез келген нүктесіндегі бас аудандар көлденең және бойлық қималарына сәйкес келеді. Көлденең қимадағы кернеу σ_z, ал өзара перпендикуляр бойлық қималардағы кернеулер нөлге тең, яғни

Брустың өзара перпендикуляр көлбеу қималарындағы тік кернеулерді қоссақ, екенін көреміз.

Яғни, өзара перпендикуляр көлбеу аудандарда әсер етіп тұрған тік кернеулердің қосындысы, көлденең қимада (басты ауданда) әсер етіп тұрған тік кернеуге тең, тұрақты шама.

Енді кернеулерін қосайық

осыдан IV.08

Демек, өзара перпендикуляр аудандарда әсер етіп түрған жанама кернеулер шамасы жағынан тең, бағыттары жағынан қарама-қарсы. Соңғы алынған формула жанама кернеулердің жұптық заңдылығы деп аталады.

ЖАЗЫҚ КЕРНЕУЛІ КҮЙ

Нүктелері жазық кернеулі күйдегі машина бөлшектерін, конструкцияларды практикада жиі кездестіруге болады. Мысалы, ішкі қысымды жұқа қабырғалы резервуарлар мен сфералық ыдыстар (IV,5, а, б-сурет), тік төртбұрышты немесе дөңгелек қималы бұралған брустар (IV.5, в, г-сурет), жылдам айналып тұрған жұқа дөңгелектер (IV.5, д-сурет).

Денелерден бөлініп алынған А, В, С, Д, Е нүктелерінің кернеулі күйлері басты кернеулермен сипатталған. Нүкте арқылы тек үш басты аудандар жүргізуге болатынын жоғарыда атап өттік, демек, басты аудандарға параллель емес сол нүкте арқылы өтетін кез келген аудандарда тік және жанама кернеулер әсер етеді.

Енді, басты аудандар мен басты емес аудандардағы кернеулердің арасындағы байланыстарды анықтайық. Ол үшін бүйір аудандары мен беттеріндегі жанама кернеулері нөлге тең σ₁ мен σ₂ кернеулерімен екі бағытта созылған кішігірім пластинканы қарастырамыз (IV.6,а-сурет). Нормалі σ₁ кернеуінің α, ал σ₂ кернеуінің бағытымен α + 90° бұрышын жасайтын көлбеу ауданда тік және жанама кернеулер пайда болады. Күштер әрекеттерінің тәуелсіздік принципі (суперпозидия принципі) бойынша, берілген жазық кернеулі күйді екі сызықтық кернеулі күйдің қосындысы ретінде қарастыруға болады (IV.6, б, в-сурет).

Яғни,

IV.09

мұндағы әсерінен көлбеу жазықтықта пайда болған кернеулер; әсерінен көлбеу жазықтықта пайда болған кернеулер.

Өткен параграфта алынған (IV.О3, IV.04) теңдіктерін қолданып

екенін көреміз.

Олай болса,

IV.10

IV.11

Ең үлкен кернеудің бағытынан сағат тіліне қарсы бағытта салынған бұрыш оң деп қарастырылған.

Енді алғашқы көлбеу ауданға перпендикуляр, нормалі сгі-дің бағытымен бұрышын жасайтын екінші көлбеу аудан жүргізейік. Бұл аудандағы кернеулерді анықтау үшін (IV.10, IV.11) теңдіктерін қолданамыз

IV.12

IV.13

Бұл теңдіктер басты аудаңдардағы кернеулер мен басты емес аудандардағы кернеулердің арасындағы байланыстарды өрнектейді.

Енді көлбеу аудаңдардағы кернеулердің экстремальді мәндеріне сәйкес келетін бұрыштарды табайық. Ол үшін σ_α өрнегінен σ бойынша бірінші туындысын алып, нөлге теңестіреміз

Есептің алғашқы шарты бойынша бас кернеулер нөлге тең емес, сонымен қатар олай болса Яғни а = 0°, немесе а = 90°. Табылған а бұрышының мәндерін σ_а өрнегіне қояйық: а = 0° болғанда болғанда Дәл осылай а = 0° болғанда, болғанда, екенін дәлелдеуге болады.

Сонымен, көлбеу аудандарындағы тік кернеулердің ең үлкен мәні σ₁-ге, ал ең кіші мәні σ₂-ге тең.

Жанама кернеу (IV.11) өрнегі бойынша, ең үлкен мәніне α= 45° болғанда ие болады

IV.14

Алынған (IV.10) мен (IV.12) теңдіктерінің оң және сол жақтарын мүшелеп қосайық, сонда яғни өзара перпендикуляр көлбеу аудандардағы тік кернеулердің қосыңдысы басты кернеулердің қосындысына тең, тұрақты шама.

Ал (IV.1І) мен (IV.13) теңдіктерінің оң және сол жақтарын мүшелеп қосып, екенін көреміз. Яғни жазық кернеулі күй үшін жанама кернеулердің жұптық заңы сақталады.

БАСТЫ КЕРНЕУЛЕР. БАСТЫ АУДАНДАРДЫҢ ОРНЫ

Жалпы жағдайда, жазық кернеулі күйді сипаттайтын элементтің аудандарында кернеулері әсер етсін (IV.7, а-сурет). Егер болса, элементтің берілген көлбеу ауданының орны, осы ауданға тұрғызылған нормаль мен σ_а бағыттарының арасындағы а бұрышымен анықталады. Көлбеу аудандағы (dF) кернеулерді табу үшін қию әдісін пайдаланып, элементтің төменгі бөлігінің тепе-теңдік күйін қарастырамыз (IV.7, б-сурет).

Кернеулерді нормаль бағыты мен көлбеу ауданға проекциялайық, сонда

Осы теңдеулерден

IV.15

IV.16

екенін көреміз.

Енді, басты аудандардың орнын табу үшін (IV.15) теңдігінен α бойынша туынды алып, оны нөлге теңестіреміз,

осыдан

IV.17

Табылған α₀ бұрышы, σ_х пен σ әсер етіп тұрған басты ауданға тұрызылған нормальдің бағыттарының арасыңдағы бұрышты анықтайды. Екінші басты аудан біріншіге перпендикуляр бағытта өтетіндіктен, оның нормалі мен σ_х бағыттарының арасындағы бұрыш β = α + 90° (IV.17, в-сурет).

Басты аудандардағы кернеулердің шамасын табайық. Ол үшін (IV.17) формуласын пайдаланып, (IV.15) теңдігіндегі тригонометриялық функцияларды түрлендіреміз.

Сонымен,

IV.18

IV.19

Ең үлкен жанама кернеу

IV.20

ГУКТЫҢ ЖАЛПЫЛАМА ЗАҢЫ

Созылған брустың көлемінен сызықтық кернеулі күйдегі шексіз кіші элемент бөліп алып, оның өзара перпендикуляр қабырғаларын, 1, 2, 3 арқылы белгілейік (IV.10-сурет). Бүл элементтің деформациялану күйі қабырғаларының деформацияларымен анықталады. Бас кернеу σ₁-дің әсерінен бірінші қабырғасы созылады. Гук заңы бойынша оның салыстырмалы деформациясы

Ал σ₁-дің әсерінен екінші, үшінші қабырғалары қысқарады, сондықтан олардың салыстырмалы деформациялары теріс таңбалы

мұндағы μ— еңдік деформация коэффициенті.

Сонымен

IV.21

Басты бағыттардағы деформациялар (ε₁, ε₂, ε₃) басты деформациялар деп аталады.

Дәл осылай, көлемді кернеулі күйдегі элементтің салыстырмалы деформацияларын анықтауға болады (IV. 12, а-сурет)

IV.22

Алынған (IV.21, IV.22) формулалары екі және үш осьтік кернеулі күйдегі элементтердің басты кернеулері мен басты деформацияларының арасындағы тәуелділікті өрнектеп, Гуктың жалпылама заңы деп атайды.

Дене серпімді деформацияланғанда, ондағы ығысу деформациясының сызықтық деформацияға әсері жоқтың қасы. Сондықтан, Гуктың жалпылама заңын пайдаланып, аудаңдары басты емес кез келген элементтің салыстырмалы деформацияларын анықтауға болады (IV. 12, б-сурет)

IV.23

Еңді ε₁, ε₂, ε₃ белгілі деп, көлемнің деформациядан кейінгі өзгеру шамасын анықтайық (IV. 12, а-сурет). Берілген элементтің қабырғаларының ұзындығын а, b, с арқылы белгілейік. Сонда оның көлемі V₀=abc

Қабырғаларының деформациядан кейінгі ұзындықтары

Элементтің деформациядан кейінгі көлемі

Қабырғаларының салыстырмалы деформациялары осыдан осыдан осыдан екенін ескерсек, онда

Деформациялар шексіз кіші шамалар болғандықтан, олардың өзара көбейтіндісін ескермей, деп жазуға болады.

КӨЛЕМДІК КЕРНЕУЛІ КҮЙДЕГІ ДЕФОРМАЦИЯНЫҢ ПОТЕНЦИАЛДЫҚ ЭНЕРГИЯСЫ

Серпімді деформацияланған дененің көлемінде жиналған энергия деформацияның потенциалдық энергиясы делінеді. Көлемді кернеулі күй үшін деформацияның меншікті потенциалдық энергиясын анықтайық (IV.2, а-сурет).

Созыла деформацияланған дененің бірлік көлеміндегі деформацияның меншікті потенциалдық энергиясы (III.16)

олай болса суперпозиция принципіне сүйеніп, көлемдік кернеулі күй үшін меншікті потенциалдық энергияны келесі түрде жазуға болады.

немесе

III.24

Шамалары тең емес басты кернеулердің әсерінен деформацияланған элементтің тек көлемі емес пішіні де өзгереді. Сондықтан, деформацияның толық потенциалдық энергиясы элементтің көлемі өзгеру мен пішіні өзгеру потенциалдық энергияларының қосындысына тең.

Егер қабырғаларының ұзындықтары өзара тең элемент шамалары бірдей үш кернеумен деформацияланса, оның көлем өзгеру энергиясы

Еңді екенін ескерсек

Деформацияның толық энергиясынан көлемі өзгеру энергиясын алып тастап, пішіні өзгеру энергиясын табамыз

БЕРІКТІК ЖОРАМАЛДАРЫ (ГИПОТЕЗАЛАРЫ)

НЕГІЗГІ ТҮСІНІКТЕР

Инженердің алдына қойылатын негізгі мақсаттардың бірі — кернеулі күйі белгілі конструкция элементтерін беріктікке есептей білу.

Қарапайым деформацияланған машина бөлшектерін беріктікке есептеу жеңіл, өйткені бұл жағдайларда материалдардың қауіпті кернеуі тәжірибе жүзінде оңай анықталады.

Қауіпті кернеу деп, дененің қирауына немесе үлкен пластикалық қалдық деформациясына сәйкес келетін кернеуді атайды.

Пластикалық материалдар үшін қауіпті кернеу σ_қ=σ_аш, ал морт материалдар үшін σ_қ =σ_бш мұндағы σ_аш — материалдардың аққыштық шегі, σ_бш — беріктік шегі.

Бұл механикалық сипаттамалар материалдардың қарапайым созу, сығу диаграммаларынан алынады.

Бір осьтік кернеулі күйдегі материалдар үшін (V.І, а-сурет) беріктік шарты келесі түрде жазылады.

немесе мұндағы — материалдың созу мүмкіндік кернеуі, — материалдың сығу мүмкіндік кернеуі.

Енді күрделі кернеулі күйдегі, яғни кез келген нүктелерінде екі немесе үш бас кернеулері нолге тең емес машина бөлшектерін беріктікке есептеу тәсілдерін қарастырайық. Мысал ретінде, V.1, б, в-суреттерінде ішкі қысымы бар резервуар мен қыздырылған шардың Б, В нүктелерінің кернеулі күйлері көрсетілген.

Бас кернеулердің қауіпті шектерін, оларды өзара пропорционалды түрде өсіріп анықтауға болады. Бұл мәселе материалдар кедергісі ғылымының күрделі мәселелерінің бірі болып саналады. Өйткені, кейбір кернеулі күйлердің бас кернеулерінің кауіпті шектерін табу үшін күрделі машиналар мен аспаптар жасап қиын тәжірибелер жүргізуге тура келеді. Ал кейбір кернеулі күйдің мысалы (үш бағытта бірқалыпты созылған элементтің) бас кернеулерінің қауіпті шектерін табу — әлі күнге дейін шешілмеген мәселе.

Айтылған қиыншылықтарды ескеріп, материалдар кедергісі ғылымы күрделі деформацияланған конструкция элементтерін беріктікке есептеу үшін бірнеше беріктік жорамалдарын (гипотезаларын) ұсынады. Бұл жорамалдар бойынша күрделі деформацияланған машина бөлшектерінің қирауы немесе үлкен калдық деформацияға ұшырауы, қандай да бір жеке фактордың қауіпті шегіне жетуіне байланысты деп қарастырылады. Жеке факторлар ретінде тік және жанама кернеулер, салыстырмалы деформация, деформацияның меншікті потенциалдық энергиясы т.б. факторлар қабылданады.

Қабылданған фактордың қауіпті шектерін материалдарды қарапайым созу, сығу, кейде бұрау деформацияларына сынау арқылы анықтайды.

Беріктік жорамалдары материалдардың күрделі кернеулі күйлерін қарапайым бір осьтік кернеулі күймен салыстыруға мүмкіндік береді. Бас кернеулері өзара пропорционал түрде өскен, бірі күрделі, ал екіншісі қарапайым кернеулі күйдегі элементтердің бір мезетте қауіпті күйге жетуі, бұл элементтердің қауіптілігі мен беріктігінің өзара бірдей екендігін көрсетеді. Аталған кернеулі күйлер үшін беріктік қоры коэффициенті де өзара бірдей. Беріктік қоры коэффициенті деп σ₁, σ₂, σ₃ бас кернеулерінің шамасын қауіпті шектеріне жеткізу үшін, оларды өзара пропорционал түрде неше есе өсіру керек екендігін көрсететін коэффициентті айтады, яғни

мұндағы п — беріктік қоры коэффициенті, σ_1.қ, σ_2.қ, σ_3.қ— материалдардың қирауына немесе үлкен пластикалық қалдық деформациясына сәйкес келетін бас кернеулердің қауіпті шектері.

Ғылыми түрде негізделмегенімен беріктік гипотезаларын беріктік теориялары деп те атайды. "Материалдар кедергісі" ғылымында беріктік теорияларын ескі, жаңа деп бөледі. Ескі теорияларға Галилей, Мариотта, Кулон, Сен-Венан сияқты белгілі ғалымдар ұсынған теориялар, ал жаңа теорияларға өткен ғасырдың аяғынан осы күнге дейінгі қабылданған теориялар жатады.

Төмеңде беріктік теориялары кабылдану мерзімдеріне байланысты хронологиялық тәртіппен берілген,

БІРІНШІ БЕРІКТІК ЖОРАМАЛЫ

Бірінші беріктік жорамалын ең үлкен тік кернеу теориясы деп атайды, өйткені бұл теорияда ең үлкен тік кернеу беріктік критерийі ретінде қабылданған.

Бұл теореманың негізін өз заманының ұлы ғалымы Галилей құрған, Галилей күрделі кернеулі күйдегі материал көлеміндегі ең үлкен бас кернеудің шамасы қауіпті шегіне жеткенде қирайды немесе үлкен пластикалық қалдық деформацияға ұшырайды деп жорамалдады.

Бас кернеудің қауіпті шегін (σ_қ) материалды бір бағытта созуға немесе сығуға сынау нәтижесінде анықтайды.Сонымен, материалды бірінші теориямен беріктікке есептегенде, оның қауіпті нүктесіндегі бас кернеулердің ең үлкені немесе ең кішісі ескеріліп, қалған екеуі ескерілмейді. Морт материалдарды бірінші теория бойынша беріктікке есептеу қанағаттанарлық нәтиже береді. Пластикалық материалдарды бірінші теориямен есептеу нәтижелері тәжірибе жүзінде дәлелденбейді.

ЕКІНШІ БЕРІКТІК ЖОРАМАЛЫ

Екінші беріктік жорамалын ең үлкен сызықтық деформация теориясы деп атайды, өйткені бұл теорияда сызықтық деформация беріктік критерийі ретінде қабылданған.

Бұл теорияның негізін Мариотта құрып, Сен-Венан жалғастырған. Мариотта күрделі кернеулі күйдегі материал көлеміндегі ең үлкен сызықтық деформация шамасы қауіпті шегіне жеткенде өзінің жұмыс істеу қабілетін жоғалтады деп жорамалдады. Ең үлкен сызықтық деформацияның қауіпті шегін материалды бір бағытта созуға немесе сығуға сынау арқылы анықтайды.

Екінші теория бойынша материалдардың қирау шарты келесі түрде жазылады: ε₁ = ε_қ, ал беріктік шарты

Гуктың жалпы заңына сүйене отырып, беріктік шартын кернеу арқылы өрнектейік:

Материалдардың бір бағытта созылғандағы мүмкіндік кернеуі

([σ]) болса, онда беріктік шарты

Осыдан екенін көреміз.

Теңсіздіктің сол жағын σ _экв арқылы белгілеп, эквивалентті немесе есептеу кернеуі деп атайды. Яғни

V.02

Екінші теория пластикалық материалдар үшін тәжірибе жүзінде дәлелденбейді, сондықтан морт материалдарды есептеуге ғана қолданылады.

ҮШІНШІ БЕРІКТІК ЖОРАМАЛЫ

Үшінші беріктік жорамалы ең үлкен жанама кернеу теориясы деп аталады, өйткені бұл теорияда ең үлкен жанама кернеу беріктік критерийі ретінде кабылданған.

Бұл теорияның негізін Кулон мен Гест құрған. Олар күрделі кернеулі күйдегі материал көлеміндегі ең үлкен жанама кернеудің шамасы қауіпті шегіне жеткенде өзінің жұмыс істеу қабілетінен айырылады деп жорамалдады. Жанама кернеудің қауіпті шегі τ_қ материалды қарапайым созуға немесе сығуға сынау нәтижесінде анықталады.

Үшінші теория бойынша қирау шарты келесі түрде жазылды τ_max = τ_қ мұндағы — жанама кернеудің қауіпті шегі, ал беріктік шарты Егер екенін ескерсек, осыдан яғни

Сонымен, үшінші беріктік жорамалы бойынша эквивалентті кернеу бас кернеулердің ең үлкені мен ең кішісінің айырымына тең

Үшінші теория материалдардың серпімді күйінен пластикалық күйіне ауысу шартын анықтау үшін (пластикалық материалдарды беріктікке есептеу үшін) кеңінен қолданылады; кемшілігі — орташа бас кернеудің беріктік шартында ескерілмеуі.

ТӨРТІНШІ БЕРІКТІК ЖОРАМАЛЫ

Төртінші беріктік жорамалын энергетикалық беріктік теориясы деп атайды, өйткені бұл теорияда деформацияның меншікті потенциалдық энергиясы критерийі ретінде қабылданған. Бұл теорияньщ негізін Губер мен Мизес құрып, Генки жалғастырды. Бұл ғалымдар күрделі кернеулі күйдегі материал, көлеміндегі меншікті пішін өзгеру потенциалдық энергиясының шамасы қауіпті шегіне жеткенде өзінің жұмыс істеу қабілетінен ажырайды деп жорамалдайды. Меншікті пішін өзгеру потенциалдық энергиясының қауіпті шегі і/ф материалды бір бағытта созу немесе сығу нәтижесінде анықталады. Төртінші теория бойынша материалдың ағу шарты келесі түрде жазылады и_ф = (и_ф)_аш. Теңдіктің екі жағын да беріктік қоры коэффициенттеріне бөліп, беріктік шартын алуға болады

Материалдың деформациялануы Гук заңына бағынышты деп қарастырсақ

ал бір бағытта созылғанда яғни

Сонымен, төртінші теория бойынша қирау шарты төмеңдегідей

ал беріктік шарты

немесе

V.04

Төртінші теория пластикалық материалдардың серпімді күйінен пластикалық күйіне ауысу шартын анықтауға ыңғайлы. Бұл теориямен морт материалдарды есептеуге болмайды.

МОР КРИТЕРИЙІ

Мор бас кернеулері белгілі кез келген күрделі кернеулі күйді кернеу шеңберімен сипаттауға болатынын көрсетті. Ол үшін Мор жазық координата жүйесінің абсцисса осіне бас кернеулерді салып, шеңбер радиусы мен центрінің абсциссасын келесі өрнектермен анықтады

Бас кернеулері қауіпті кейбір кернеулі күйлер үшін салынған шеңберлер V.2, а-суретте көрсетілген. Бұл шеңберлердің біріншісі қарапайым созылған, екіншісі бір бағытта созылып келесі бағытта сығылған (бас кернеулерінің абсолют шамасы өзара тең), ал үшіншісі қарапайым сығылған кернеулі күйлерге сәйкес келеді. Кернеулі күйлердің түрлеріне байланысты шеңбердің диаметрлері де әр түрлі.

Бірқатар конструкциялық материалдардың созуға карағанда сығуға қарсыласу қабілеті жоғары екені бізге мәлім.

V.05

яғни Мор теориясы үшінші беріктік теориясымен сәйкес келеді.

Мор критерийінен қасиеттері әр түрлі (пластикалық, морт) материалдарды беріктікке есептеуге болады; кемшілігі — үшінші теориядағыдай, орташа бас кернеудің материал беріктігіне әсері ескерілмейді.

Материалдың кейбір күрделі кернеулі күйін тәжірибе жүзінде алу, күрделі машиналар жасап, аспаптар жинауды талап етеді.