7. Пример решения задачи методом верхней оценки.

Сущность метода верхней оценки заключается в том, что объем деформируемого тела представляется в виде жестких недеформируемых блоков, как правило, треугольной формы, скользящих один относи­тельно другого и по границам с жесткой зоной. Таким образом, стро­ится упрощенное поле линий скольжения, состоящее из системы пря­молинейных отрезков, образующих треугольники. Внутри каждого бло­ка поле однородно, т.е. блоки движутся как единое целое. На этом основании строится годограф скоростей, который при правильном построении всегда является кинематически возможным.

Вдоль границ блоков касательные напряжения являются макси­мальными, т.е.

На свободных поверхностях:

На контактных поверхностях:

Для получения решения необходимо приравнять мощности внут­ренних и внешних сил:

где усилие деформирования;

скорость движения рабочего органа;

скорость движения вдоль границ треугольных участков;

длины сторон треугольников;

длина проекции площадки контакта в направлении оси.

Решая уравнение относительно , получим ( [ 1],форм.6.31):

Теперь решим предложенный пример методом верхней оценки. Преобразуем поле линий скольжения в кинематически возможное доле, состоящее из жестких треугольных блоков. Получим поле, представ­ленное на рис. 7.1.

Цифрами обозначены:

1 – пуансон

2, 3, 4, 5 - жесткие блоки

6 - нижняя плита

Границы между зонами обозначаться двумя цифрами, например, 23 - граница между блоками; 12 - контактная поверхность. Длину соответствующих линий обозначим , и т.д.

Теперь построим годограф скоростей. Для этого от произволь­но выбранного центра O отложим по вертикали вектор O1 скорости пуансона , длину которого примем за единицу. Очевидно, что блок 2 перемещается как жесткое целое вместе с пуансоном, и его скорость также равна . Далее из конца вектора проводим ли­нии параллельно 23 и 24, а из точки O - линии, параллельные 35 и 45. На пересечении этих линий получим точки 3 и 4. Зона 5 не­подвижна, поэтому положение точки 5 соответствует положению то­чки O. Линии 35, 45, 23 и 24 обозначают относительные скорости блоков вдоль соответствующих линий разрыва.

Для определения усилия необходимо выразить скорости через скорость , приняв в качестве пара­метра угол , определяемый из соотношения размеров заготовки:

Рис. 7.1. Кинематически возможное поле линий

скольжения для решения задачи методом верхней оценки.

Рис. 7.2. Годограф скоростей.

Тогда:

Теперь определим длины линий разрыва:

После подстановок и сокращений усилие выразится (с учетом формулы стр. 132 [17]):

Таким образом, расхождение с результатом, полученным методом линий скольжения, составляет:

.