1.8 Метод экспертных оценок, использующий методы непараметрической ранговой корреляции для выбора наилучшего банка-кредитора

Начало применения математико – статистических приемов для изучения корреляционных зависимостей относится к 70 годам девятнадцатого столетия. Многие историки - статистики историю развития теории корреляции ведут от сороковых годов девятнадцатого столетия - от того времени, когда французский математик О.Браве предложил формулу для распределения двух случайных величин, удовлетворяющих требованиям закона нормального распределения.

Однако истинным основателем корреляционной теории считается английский математик - статистик К.Пирсон, создавший в конце девятнадцатого начале двадцатого веков данную теорию.

Изучение корреляции качественных признаков породило в общем учении о корреляции так называемую теорию рангов и основанную на ней теорию ранговой корреляции. На начальной стадии в рангах чаще всего видели просто удобный аппарат, благодаря которому удается обойтись без измерения абсолютной величины переменных и тем самым сэкономить время и усилия. Позднее статистика рангов смогла завоевать признание благодаря своим собственным достоинствам. М.Кендалл сконструировал показатель, который применим и для изучения частной корреляции между рангами.

Непараметрическими называются такие методы, которые не предназначены специально для какого-нибудь параметрического свойства распределений и не использует его свойства. Благодаря этому непараметрические методы имеют более широкую область применения.

Непараметрические ранговые методы - это бурно развивающаяся область математической статистики. История современных непараметрических методов, основанных на рангах, довольно коротка – всего лишь около 40 лет. Как показали статистические исследования, проведенные за последние 10 – 15 лет, ранговые методы в значительной мере лишены ряда недостатков для работы с малыми выборками, распределение которых неизвестно. Как известно, переход от самих наблюдений к их рангам сопровождается определенной потерей информации. Однако, эти потери не слишком велики. В анализе социально – экономических явлений часто приходится прибегать к различным, условным оценкам с помо­щью рангов, а взаимосвязь между отдельными признаками изме­рять с помощью непараметрических коэффициентов связи.

Ранжирование - это процедура упорядочения объектов изу­чения, которая выполняется на основе предпочтения.

Ранг - это порядковый номер значений признака, располо­женных в порядке возрастания или убывания их величин. Если отдельные значения признака имеют одинаковую количествен­ную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической от соответствующих номеров мест, которые определяют. Данные ранги называются связными.

В хронологической последовательности достижения целей дипломной работы встает вопрос выбора наилучшего банка-кредитора. Подобная ситуация складывается при недостатке денежных средств в соответствующем фонде, описанных в разделе 1.7 выше. Выбор банка осуществляется с помощью метода экспертных оценок, использующий методы непараметрической ранговой корреляции, поскольку данная задача является трудноформализуемой.

Для анализа положении банка в методику необходимо включить те типы показателей, которые в наиболее полной мере способствует целям и задачам ранжировки.

Задача выбора банка для кредитования заключается в выборе такого банка, который предоставит наиболее комфортную программу выплаты по кредиту на ремонт объекта жилищного фонда. При этом предполагается, что явно доминирующего кредитного учреждения в этом смысле нет.

Сущность метода экспертных оценок заключается в проведении экспертами интуитивно-логического анализа проблемы, с количественной оценкой суждений и формальной обработкой результатов. Полученное в результате обработки обобщенное мнение экспертов принимается как решение проблемы.

Методы ранговой корреляции в этой области являются едва ли не единственным путем обобщения экспертных оценок. А коэффициенты ранговой корреляции применяются для оценки тесноты связи между количественными и качественными признаками, значения которых могут быть упорядочены. Достоинство коэффициентов заключается в том, что нахождение этих коэффициентов не требует нормального распределения переменных и линейной связи между ними.

Чтобы решить задачу выбора банка для кредитования ремонта объекта подведомственного жилищного фонда, группе экспертов необходимо проранжировать предложенные кредитные учреждения по каждому фактору, а также сами факторы по их важности. В результате каждому фактору приписывается свой ранг и получается окончательное ранжирование факторов по степени важности. Результаты работы m экспертов относительно n факторов сводятся в матрицу размера (m*n), которая называется матрицей опроса. Вид матрицы приведен на рисунке 1.1.

Факторы	Эксперты
	1	2	…	J	…	n
1 2 … i … m	a11 a21 … ai1 … a1m	a12 a21 … ai2 … a2m	… … … … … …	a1j a2j … aij … amj	… … … … … …	a1n a2n … ain … amn

Рисунок 1.1 – Матрица опроса

Далее на основании матрицы опроса по формулам (1.14) - (1.15) строится матрица преобразованных рангов.

(1.14) где S_ij – значение преобразованного ранга;

a_max – значение максимального ранга матрицы;

а_ij – значение простого ранга.

(1.15)

где R_i – сумма рангов i – ой строки матрицы.

На рисунке 1.2 приведен общий вид матрицы преобразованных рангов.

Факторы	Эксперты						Ri
	1	2	…	J	…	n
1 … m	S11 … Sm1	S12 … Sm2	… … …	S1j …. Smj	… … …	S1n … Smn		R1 … Rm

Рисунок 1.2 - Матрица преобразованных рангов

Иногда возникает ситуация, когда эксперт по каким – либо причинам затрудняется провести четкое разграничение между некоторыми факторами, тогда вводятся связанные ранги, которые рассчитываются по формуле (1.16) :

(1.16)

где - связанные ранги j – го эксперта;

к – количество связанных рангов.

Тогда сумма рангов (R_i ) определяется по формуле (1.17):

(1.17)

Далее по данным матрицы преобразованных рангов определяется относительный вес каждого фактора по всем экспертам по формуле (1.18):

(1.18)

Причем, сумма всех W_i должна равняться единице.

Таким образом, на основании величины относительных весов расставляются ранги для рассматриваемых факторов. Самый высокий ранг получает фактор, относительный вес которого самый большой. Самый низкий ранг получает тот фактор, относительный вес которого самый малый.

В случае, когда сумма рангов (R_i) всех объектов совпадает и нет возможности определить большие или меньшие относительные веса рангов, поступают следующим образом : рассчитывают сумму квадратов рангов (D_i) для каждого объекта по формуле (1.19) :

(1.19)

То есть, высший ранг присваивается фактору с наибольшей суммой квадратов рангов, а низший ранг, соответственно, объекту с наименьшей суммой квадратов рангов.

Одним из недостатков метода экспертных оценок является субъективность экспертных оценок, поэтому для повышения степени объективности оценки проводится ранжирование сразу несколькими экспертами – специалистами. При анализе оценок, расставленных несколькими экспертами, возникает необходимость проверки их согласования. Для этого и применяется коэффициент конкордации (согласованности) Кендалла, который определяется по формулам (1.20) - (1.24), а в случае наличия связанных рангов - по формулам (1.16) - (1.17).

, (1.20)

где D – рассчитывается по формуле (15);

n – число объектов;

m – число анализируемых порядковых переменных.

, (1.21)

где r_ij – расставленные ранги.

В некотором смысле W служит мерой общности суждений группы экспертов. Значения коэффициента конкордации заключены на отрезке [0 ; 1].

Увеличение коэффициента от 0 к 1 означает проявление большей согласованности суждений. Если все эти суждения совпадают, то W = 1.

Проверка значимости коэффициента основана на том, что в случае справедливости нулевой гипотезы об отсутствии корреляционной связи при n > 7 статистика m(n – 1)_*W имеет приближенно  ² – распределение с k = n – 1 степенями свободы. Поэтому коэффициент конкордации значим на уровне , если m (n – 1)W >  ²_{, к} .

При наличии неразличимых объектов по признакам (связанных рангов) формула вычисления коэффициента конкордации несколько меняется. Тогда W определяется по формуле (1.22):

, (1.22)

где Т_j – рассчитывается по формуле (1.23):

T _j =1/12 * (t _j³ – t _j ) , (1.23)

где t _j – количество связанных рангов по отдельным показателям.

Проверка значимости коэффициента при наличии связанных рангов осуществляется с помощью статистики ² по формуле (1.24):

(1.24)

Для окончательного подтверждения правильности и точности расставленных рангов, необходимо коэффициент конкордации проверить на значимость, то есть силу согласованности экспертов с помощью критерия согласия Пирсона .

Для оценки силы согласованности экспертов при уровне значимости , равным 0,5 применяют отношение (1.25):

m (n – 1)W >  ²_{, к} , (1.25)

где n – число объектов;

m – число анализируемых порядковых переменных;

W – значение коэффициента конкордации;

 ²_{, к} – распределение с к = n – 1 степенями свободы и уровнем значимости , определяемое по таблице распределения статистики  ².

Таким образом, если выполняется отношение (1.25), то существует сильная согласованность между экспертами и их мнению можно доверять, и наоборот.

Для получения независимых экспертных заключений были опрошены 3 специалиста. Опрос экспертов осуществлялся с помощью печатной формы, в которых были перечислены факторы (критерии) оценивания кредитных программ финансовых учреждений и список анализируемых банков.

Эксперты присвоили числовые ранги каждому из приведенных в анкете рассматриваемых факторов, а так же числовые ранги каждому банку по каждому фактору. Первый ранг присваивался наименее важному, по мнению экспертов, фактору. Второй ранг - чуть более важному и так далее по восходящей. Высший ранг присваивался самому важному фактору.