6. Циклические коды. Принцип обнаружения ошибок. Выбор порождающего полинома.

Широкое распространение на практике получил класс линейных кодов, которые называются циклическими. Данное название происходит от основного свойства этих кодов:

если некоторая кодовая комбинация принадлежит циклическому коду, то комбинация полученная циклической перестановкой исходной комбинации (циклическим сдвигом), также принадлежит данному коду.  .

Вторым свойством всех разрешенных комбинаций циклических кодов является их делимость без остатка на некоторый выбранный полином, называемый производящим.

Синдромом ошибки в этих кодах является наличие остатка от деления принятой кодовой комбинации на производящий полином.

Эти свойства используются при построении кодов, кодирующих и декодирующих устройств, а также при обнаружении и исправлении ошибок.

Принцип обнаружения ошибок с помощью циклических кодов состоит в том, что в качестве разрешенных комбинаций выбираются также комбинации, полиномы которых F(x) делятся без остатка на заранее выбранный полином P(x) – порождающий полином, так как именно он определяет свойства циклического кода. Если при передаче информации произошло искажение кодового слова, то полином F’(x), соответствующий искаженному слову, уже не будет делиться без остатка на порождающий полином, и это свидетельствует о наличии ошибок.

Выбор порождающего полинома для обнаружения ошибок

Любое искаженное кодовое слово, представленное в виде полинома F(x) всегда представить в виде суммы: F(x)=F(x) + E(x), где F(x)– полином неискаженного слова, E(x) – полином ошибок (в соответствующей последовательности ошибок).

Для того, чтобы циклический код мог обнаруживать ошибки, нужно выбрать такой P(x), на который всегда бы делился с ненулевым остатком полином F(x), но полином F(x)всегда делился бы без остатка на P(x) в соответствии с формулой кодирования. Поэтому, для удовлетворения этому условию полином ошибок E(x) всегда должен делится на P(x) с остатком. Это и является основным критерием выбора порождающего полинома.

7. Методы построения циклических кодов. Структурная схема кодирующего и декодирующего устройства.

Циклические коды — это целое семейство помехоустойчивых кодов, включающее в себя в качестве одной из разновидностей коды Хэмминга, но в целом обеспечивающее большую гибкость с точки зрения возможности реализации кодов с необходимой способностью обнаружения и исправления ошибок, возникающих при передаче кодовых комбинаций по каналу связи. Циклический код относится к систематическим блочным (n, k)-кодам, в которых k первых разрядов представляют собой комбинацию первичного кода, а последующие (n − k) разрядов являются проверочными.

Построение циклического кода методом умножения

Информационный многочлен ai(x) умножается на образующий многочлен g(x)

Достоинство метода – простота реализации при кодировании.

Недостаток – получаемый код – неразделимый, то есть заранее нельзя указать, где расположены информационные и проверочные символы. Поэтому при декодировании после исправления ошибок приходится делить на g(x) дважды, чтобы получить информационный многочлен циклического кода.

Построение циклического кода методом деления

Чтобы получить разделимый код поступают следующим образом: ai(x) умножают на xm, что эквивалентно дописыванию к ai(x) справа m нулей. Полученный многочлен делится на g(x). В результате получается частное от деления g(x) и остаток r(x).

Схема кодера циклического кода