Бинарные отношения определенные на множестве.

Пусть М – некоторое множество. М²=М×М – декартово произведение (т.е. множество упорядоченных пар из М). Всякое подмножество из М² называется бинарным отношением определенным на М.

Бинарное отношение Р называется рефлексивным, если для элемент , если (а,а) . Р то антирефлексивным..

Бинарное отношение называется транзитивным, если из того, что

Бинарное отношение Р называется симметричным, если из того, что

Бинарное отношение Р называется антисимметричным, если из того, что

Эквивалентные бинарные отношения

Бинарное отношение обладающее свойствами рефлективности, симметричности и транзитивности называется эквивалентным.

Отношение эквивалентности разбивает множество М на два подмножества, эквивалентных между собой элементов

Подмножество эквивалентных элементов называется классами эквивалентности. Классы эквивалентности на множестве М образуют дизъюнктивную сумму.

Пример: Пусть множество М – множество всех прямых на плоскости. Будет ли эквивалентное соотношение?

а) параллельности прямых

б) перпендикулярности прямых

а) Проверим выполнение свойств:

1. рефлективность а а – выполняется

2. транзитивность, а в, в с а с – выполняется

3. симметричность, а в, в а – выполняется

следовательно параллельность прямых - эквивалентное соотношение.

б) 1. рефлективность а а – не выполняется

2. транзитивность, а в, в с а с – не выполняется

3. симметричность, а в, в а – выполняется

Отношение получается антирефлексивное, не транзитивное, симметричное.

Элементы теории графов

Графом называется совокупность двух множеств V и X, между элементами которых установлено отношение инцидентности.

Элементы множества Х называются ребрами; V – вершинами. Каждому элементу из множества Х соответствует пара элементов из множества V.

Отношение инцидентности – это соответствие между элементами множества Х и некоторыми парами элементов множества V.

Обозначаем графы G(V,X).

Н апример граф с ребрами: имеет вид:

V₂

х₁

V₁

х₂

V₃

Если , то граф называется неориентированным, то есть порядок вершин не имеет значения.

Если , то граф называется ориентированным вершина - начало, - конец ребра .

Если множество х содержит элемент = , то такое ребро называется петлей.

Если какие-либо пары вершин связаны не одним, а несколькими ребрами, то граф называется мультиграфами.

Если каждой паре вершин соответствует не более одного ребра, то граф называется простой.

Если множество Х пустое, то граф называется нульграфом.

Множество вершин не может является пустым.

Если каждая пара вершин связана ребром, то граф называется полным и обозначается G_n.

Для каждого графа G существует граф который называется дополнением к G до G_n.

Графы G и состоит из одних и тех же вершин, но множества Х графа G и Х графа в пересечении дают пустое множество, т.е. .

Каждую вершину неориентированного графа можно охарактеризовать числом, называемым степенью этой вершины, которое равно числу ребер, выходящих из этой вершины. Если из любой вершины графа можно попасть в любую другую его вершину, проходя по ребрам графа, то граф называется связным. В противном случае – не связным. Вершины, степень которых равна единице, называются висящими. Вершины степени которых равна нулю называются изолированными (свободными).

Кроме чертежа, граф можно задавать как бинарное отношение определенное на множестве элементов v.