Свойства отображения.

1. Прообраз суммы двух множеств А и В равен сумме прообразов множества А и множества В.

2. 

3. образ суммы двух множеств равен сумме образов этих множеств.

4. 

Если f: x х, то f называется отображением множества Х в себя

Если отображение в f такое, что , то f называется тождественным отображением

Возникает вопрос: для каждого ли отображения существуют обратные?

Нет обратного отображения.

Теорема: Отображение обратное к существует тогда и только тогда, когда f является биекцией.

Бесконечные множества и их свойства. Счетные множества.

Два конечных множества могут содержать одинаковое или разное число элементов. Возникает вопрос: равно ли число элементов в двух множествах? Есть два способа выяснить это:

1. Пересчитать элементы и сравнить результаты.

2. Установить биекцию между этими двумя множествами. Если биекция возможна, то число элементов одинаковое.

Для бесконечного множества невозможно указать число элементов, но существует аналог понятия числа элементов для бесконечного множества. Если между элементами двух бесконечных множеств можно установить биекцию, то говорят, что эти множества эквивалентны или имеют одинаковую мощность, Мощность характеризуется так называемым координальным числом. Это символ, обозначающий мощность класса эквивалентных множеств.

Множество эквивалентное множеству натуральных чисел называется счетным и характеризуется координальным числом .

Теоремы о счетных множествах:

Теорема 1. Всякое бесконечное множество А, содержит счетное собственное подмножество.

Теорема 2 Всякое счетное множество А₁ можно представить в виде дизъюнктивной суммы двух счетных подмножеств А₁ и А₂.

Сумма А₁ + А₂ называется дизъюнктивной, если

1. А₁ А₂=А

2. А₁ А₂ =

Теорема 3. Из всякого бесконечного множества М можно извлечь собственное подмножество А, эквивалентное самому множеству (т.е. часть целого = самому целому).

Из теоремы 3 можно дать определение бесконечного множества.

Если существует собственное подмножество эквивалентное самому множеству, то множество называется бесконечным.

Теорема 4. Счетная сумма счетных множеств – есть счетное множество.

Теорема Кантора. Множество всех подмножеств данного множества обладает большей мощностью, чем данное множество. (Для каждого множества можно построить новое множество большей мощностью, чем исходное).

Теорема Кантора доказывает существование бесконечных множеств большей мощностью, чем счётное множество.

Теорема Кантора - Беринштейна: Пусть даны такие два множества А и В, что существуют В₁ В такое что АВ, и существует А₁ А такое что А₁ В, тогда АВ.

Т.е. если из двух множеств каждое эквивалентно собственному подмножеству другого множества, то сами множества эквивалентны.

- подмножество, ~ - эквивалентность

Алгебраические структуры на множестве.

Множество М с определенной на этом множестве операцией f называется алгеброй и обозначается . Операций на множестве может быть несколько.

Операция f называется n-арной, если она всякой упорядоченной системе из n-элементов ставит в соответствии один элемент из того же множества М; обозначают

Одноарной называется операция, которая одному элементу ставит в соответствие один элемент.

n–арная операция называется коммутативной, если ее результат не зависит от порядка элементов

т.е. при

Если операция, определенная на множестве М – коммутативная, то алгебра называется коммутативной. Обозначим

Если , то операция f называется ассоциативной

Множество М, на котором определена ассоциация бинарная, операция называется полугруппой.

Элемент называется левым (правым) единичным элементом для операции f, если для справедливо

Полугруппа, в которой есть единичный элемент, называется маноидом.

Элемент называется обратным левым (правым), если .

Маноид, в котором для любого существует называется группой.

Пример: Определить образует ли группу множество четных натуральных чисел относительно сложения

1. Ассоциативность: ( )

2. единичный элемент

3. обратный элемент: , -х – противоположное число

Все 3 условия выполняются, значит М – группа.

Две группы М, Р называются изоморфными, если существует биекция , которая сохраняет операцию умножения в группе. Т.е. для справедливо

Понятие подгруппы

Пусть М – группа. Если существует множество Т M, причём Т образует, группу относительно такой же операции что и M, то Т называется подгруппой группы М.

Например: Множество действительных чисел R образует группу относительного сложения, множество натуральных чисел N является подмножеством множества действительных чисел (N R) и также образует группу относительного сложения, тогда N подгруппа R.