Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна

1. Объединением (суммой двух множеств) двух множеств А и В называется новое множество С, которое обозначается С=А В и содержит элементы, принадлежащие как А, так и В. А В={х, х А, х В}

А В

А

В

Диаграммы такого вида называются диаграммами Эйлера-Венна

войства:

пределенияоперации изображаются следующим образом:00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

2. П ересечением двух множеств А и В называется новое множество С=А В, которое содержит элементы, принадлежащие одновременно и А и В. А В={х, х А х В}

А В

3. Разностью двух множеств называют новое множество С=А\В которое содержащее элементы, принадлежащие А, но не принадлежащие В. А\В={х,х А х В}

А\В

4. Симметрической разностью называют новое множество С, которое обозначается А В. Состоит из элементов принадлежащих только А или только В. С={х, х А х В х В х А}

А В

Свойства:

А В= А\В В\А

А В= (А В)\( А В)

5. Дополнением к множеству А до множества М называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих М, но не принадлежащих А, обозначается =={х, х М х А}. Справедливо:

6. Декартовым произведением двух множеств называется новое множество С=А х В, элементы которого представляют собой упорядоченные пары, из которых 1-й элемент принадлежит первому множеству, а 2-й – второму.

Пусть А= {a₁, a₂} B= {b₁, b₂}, тогда

А х В= {{a₁; в₁}, {a₂, в₂},{a₁, в₂}, {a₂, в₁}}

Законы двойственности

Пусть U универсальное множество, тогда справедливо:

1. 

2. 

Дополнение к исходному множеству получили путем замены операции объединения на пересечение, пересечения на объединение, а дополнение относится к каждому исходному множеству.

Отображение множеств

Пусть даны два произвольных множества Х, Y. Закон, по которому каждому элементу множества Х ставится в соответствие один и только один элемент из множества Y называется отображением множества Х в Y и обозначается f: Х Y

Множество Х называется областью определения отображения f. Все элементы y , которому поставлено в соответствие некоторый элемент образуют множество f(x) называется образом множества X при отображении f.

х у

.

Множество всех , которому соответствует некоторый элемент y , называется прообразом элемента y и обозначается f^--1 (y)={x|f(x) у} (или обратное отображение).

Справедливо ,f(x)≤ Y

Если , то отображение f называется сюръекцией (или отображение на множество Y).

.

cюръекция инъекция биекция

Если из следует, что , то отображение f называется инъекцией (или взаимнооднозначным отображением множества Х в множество У).

Т.е. при инъекции разным Х соответствуют разные У

Отображения одновременно являющееся сюръекцией и инъекцией называется биекцией.

Если множества Х и Y числовые, то f называется функцией