Вариант №4

1. За­да­ние 1 № 508402. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: 

По­яс­не­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

 

Ответ: 8.

2. За­да­ние 2 № 508403. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

По­яс­не­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся свой­ства­ми сте­пе­ней:

 

 

Ответ: 4.

3. За­да­ние 3 № 506275. Налог на до­хо­ды со­став­ля­ет 13% от за­ра­бот­ной платы. После удер­жа­ния на­ло­га на до­хо­ды Мария Кон­стан­ти­нов­на по­лу­чи­ла 6960 руб­лей. Сколь­ко руб­лей со­став­ля­ет за­ра­бот­ная плата Марии Кон­стан­ти­нов­ны?

По­яс­не­ние.

Пусть за­ра­бот­ная плата Марии Кон­стан­ти­нов­ны со­став­ля­ет   руб­лей. Тогда

 

 

Зна­чит, зар­пла­та Марии Кон­стан­ти­нов­ны со­став­ля­ет 8000 руб­лей.

 

Ответ: 8000.

4. За­да­ние 4 № 506650. Зная длину сво­е­го шага, че­ло­век может при­ближённо под­счи­тать прой­ден­ное им рас­сто­я­ние   по фор­му­ле   , где   — число шагов,   — длина шага. Какое рас­сто­я­ние прошёл че­ло­век, если   см,   ? Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­мет­рах.

По­яс­не­ние.

Найдём рас­сто­я­ние ко­то­рое прошёл че­ло­век:

 

 

Пе­ре­ве­дем сан­ти­мет­ры в ки­ло­мет­ры:

 

 

Ответ: 0,88.

5. За­да­ние 5 № 26797. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .

По­яс­не­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 5.

6. За­да­ние 6 № 78995.

Поезд Москва-Сык­тыв­кар от­прав­ля­ет­ся в 14:01, а при­бы­ва­ет в 16:01 на сле­ду­ю­щий день (время мос­ков­ское). Сколь­ко часов поезд на­хо­дит­ся в пути?

По­яс­не­ние.

Поезд едет пол­ные сутки и еще 2 часа. Всего 26 часов.

 

Ответ: 26.

7. За­да­ние 7 № 505377. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 

По­яс­не­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

 

Ответ: 5.

8. За­да­ние 8 № 506654.  Дач­ный уча­сток имеет форму квад­ра­та, сто­ро­ны ко­то­ро­го равны 30 м. Раз­ме­ры дома, рас­по­ло­жен­но­го на участ­ке и име­ю­ще­го форму пря­мо­уголь­ни­ка, — 8 м × 5 м. Най­ди­те пло­щадь остав­шей­ся части участ­ка. Ответ дайте в квад­рат­ных мет­рах.

По­яс­не­ние.

Пло­щадь квад­ра­та равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, по­это­му пло­щадь участ­ка равна 30 · 30=900 кв.м. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну, по­это­му пло­щадь дома равна 8 · 5=40 кв.м. Тем самым, пло­щадь участ­ка, не­за­ня­то­го домом равна 900-40=860 кв.м.

 

Ответ: 860.

9. За­да­ние 9 № 507934. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца.

 

ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ		ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ
А) вы­со­та ва­го­на Б) рост пя­ти­лет­не­го ребёнка В) вы­со­та Тро­иц­кой башни Крем­ля Г) длина Моск­вы-реки		1) 112 см 2) 79,3 м 3) 370 см 4) 503 км

По­яс­не­ние.

Вы­сто­та ва­го­на может быть равна 370 см, рост пя­ти­лет­не­го ребёнка может со­став­лять 112 см, вы­со­та Тро­иц­кой башни Крем­ля — 79,3 м, длина Моск­вы-реки — 503 км.

 

Ответ: 3124.

10. За­да­ние 10 № 1028. Ро­ди­тель­ский ко­ми­тет за­ку­пил 40 паз­лов для по­дар­ков детям на окон­ча­ние учеб­но­го года, из них 14 с ви­да­ми при­ро­ды и 26 с ис­то­ри­че­ски­ми до­сто­при­ме­ча­тель­но­стя­ми. По­дар­ки рас­пре­де­ля­ют­ся слу­чай­ным об­ра­зом. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Пете до­ста­нет­ся пазл с видом при­ро­ды.

По­яс­не­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что Пете до­ста­нет­ся пазл с видом при­ро­ды равна

 

.

Ответ: 0,35.

11. За­да­ние 11 № 42787. При адиа­ба­ти­че­ском про­цес­се для иде­аль­но­го газа вы­пол­ня­ет­ся закон  где   — дав­ле­ние в газе в пас­ка­лях,   — объeм газа в ку­би­че­ских мет­рах. В ходе экс­пе­ри­мен­та с од­но­атом­ным иде­аль­ным газом (для него  ) из на­чаль­но­го со­сто­я­ния, в ко­то­ром  Па  , газ на­чи­на­ют сжи­мать. Какой наи­боль­ший объeм   может за­ни­мать газ при дав­ле­ни­ях   не ниже   Па? Ответ вы­ра­зи­те в ку­би­че­ских мет­рах.

По­яс­не­ние.

По­сколь­ку про­из­ве­де­ние дав­ле­ния на сте­пень объёма по­сто­ян­но, а дав­ле­ние не ниже  , при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров   и   Па   м⁵ имеем не­ра­вен­ство:

 

Зна­чит, наи­боль­ший объем, ко­то­рый может за­ни­мать газ, равен 8 м³.

 

Ответ: 8.

12. За­да­ние 12 № 5453.

Семья из трех че­ло­век едет из Моск­вы в Че­бок­са­ры. Можно ехать по­ез­дом, а можно — на своей ма­ши­не. Билет на поезд на од­но­го че­ло­ве­ка стоит 930 руб­лей. Ав­то­мо­биль рас­хо­ду­ет 11 лит­ров бен­зи­на на 100 ки­ло­мет­ров пути, рас­сто­я­ние по шоссе равно 700 км, а цена бен­зи­на равна 18,5 руб­лей за литр. Сколь­ко руб­лей при­дет­ся за­пла­тить за наи­бо­лее де­ше­вую по­езд­ку на троих?

По­яс­не­ние.

Сто­и­мость по­езд­ки на по­ез­де для троих че­ло­век будет со­став­лять 930   3 = 2790 руб. Рас­ход бен­зи­на на 700 км пути со­ста­вит 7 раз по 11 лит­ров т. е. 77 лит­ров. Его сто­и­мость 77   18,5 = 1424,5 руб.

 

Сто­и­мость самой де­ше­вой по­езд­ки со­став­ля­ет 1424,5 рубля.

 

Ответ: 1424,5.

13. За­да­ние 13 № 27115.  От тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой равен 12, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды и сред­нюю линию ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

По­яс­не­ние.

Объем пи­ра­ми­ды  . Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше в 4 раза (так как вы­со­та и сто­ро­на тре­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии мень­ше ис­ход­ных в 2 раза), по­это­му и объем остав­шей­ся части мень­ше в 4 раза. Тем самым, он равен 3.

 

Ответ: 3.

14. За­да­ние 14 № 77492. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции  , при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку  .

По­яс­не­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

.

 

На за­дан­ном про­ме­жут­ке (пер­вая чет­верть без гра­нич­ных точек) синус не об­ра­ща­ет­ся в нуль и при­ни­ма­ет толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния. По­это­му един­ствен­ный нуль про­из­вод­ной — число 1,5.

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции: она по­ло­жи­тель­на при x < 1,5 и от­ри­ца­тель­на приx > 1,5. По­это­му ис­ко­мая точка мак­си­му­ма — число 1,5.

 

Ответ: 1,5.

15. За­да­ние 15 № 508006. Най­ди­те впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на дугу, длина ко­то­рой равна  длины окруж­но­сти. Ответ дайте в гра­ду­сах.

По­яс­не­ние.

Гра­дус­ные меры дуг окруж­но­сти от­но­сят­ся как их длины, по­это­му впи­сан­ный угол опи­ра­ет­ся на дугу

 

 

Впи­санн­ый угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, тем самым, он равен 45°.

 

Ответ: 45°.

16. За­да­ние 16 № 506622.  Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равны 14, бо­ко­вые рёбра равны 25. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды.

По­яс­не­ние.

Найдём апо­фе­му пи­ра­ми­ды:

 

Найдём пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды:

 

 

Ответ: 1008.

17. За­да­ние 17 № 508049. На пря­мой от­ме­че­но число m и точки K, L, M и N.

 

 

ТОЧКИ		ЧИСЛА
А) K Б) L В) M Г) N		1)  2)  3)  4)

 

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В	Г

По­яс­не­ние.

За­ме­тим, что   зна­чит 

 

Ответ: 3421.

18. За­да­ние 18 № 506537. На хи­ми­че­ском за­во­де всего 15 про­мыш­лен­ных ёмко­стей для ре­ак­ций. Объём каж­дой ёмко­сти мень­ше 100 лит­ров, но не мень­ше 50 лит­ров. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из дан­ной ин­фор­ма­ции.

1) На хи­ми­че­ском за­во­де есть ёмкость объёмом 60 лит­ров.

2) Раз­ни­ца в объёме двух ёмко­стей более 15 лит­ров.

3) На за­во­де нет ёмкость объёмом 40 лит­ров.

4) Объём любой ёмко­сти на за­во­де более 30 лит­ров.

По­яс­не­ние.

1) Не­вер­но. Все ёмко­сти могут иметь объём 50 лит­ров.

2) Не­вер­но. При­мер из пер­во­го пунк­та.

3) Верно. Все ёмко­сти имеют объём не менее 50 лит­ров, по­это­му со­ро­ка­лит­ро­вых нет.

4) Верно. Объём любой ёмко­сти не менее 50 лит­ров, по­это­му он боль­ше 30 лит­ров.

19. За­да­ние 19 № 506263. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го числа, сумма цифр ко­то­ро­го равна 20, а сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9.

По­яс­не­ние.

Раз­ло­жим число 20 на сла­га­е­мые раз­лич­ны­ми спо­со­ба­ми:

 

20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5.

 

При раз­ло­же­нии спо­со­ба­ми 1−4 суммы квад­ра­тов чисел не крат­ны трём. При раз­ло­же­нии пятым спо­со­бом сумма квад­ра­тов крат­на де­вя­ти. Раз­ло­же­ние ше­стым спо­со­бом удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям за­да­чи. Таким об­ра­зом, усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет любое число, за­пи­сан­ное циф­ра­ми 5, 7 и 8, на­при­мер, число 578.

20. За­да­ние 20 № 506443. На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии крас­но­го, жёлтого и зелёного цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным ли­ни­ям, по­лу­чит­ся 5 кус­ков, если по жёлтым — 7 кус­ков, а если по зелёным — 11 кус­ков. Сколь­ко кус­ков по­лу­чит­ся, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трёх цве­тов?

По­яс­не­ние.

Каж­дый рас­пил уве­ли­чи­ва­ет ко­ли­че­ство кус­ков на один. То есть всего 4 крас­ные линии, 6 жёлтых и 10 зелёных. То есть вме­сте 20 линий. А кус­ков по­лу­чит­ся 21.