Вариант № 3

1. За­да­ние 1 № 506796. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .

По­яс­не­ние.

Вы­пол­ним дей­ствие в скоб­ках:

 

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

 

2. За­да­ние 2 № 71883.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .

По­яс­не­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 8.

3. За­да­ние 3 № 83645. При опла­те услуг через пла­теж­ный тер­ми­нал взи­ма­ет­ся ко­мис­сия 8%. Тер­ми­нал при­ни­ма­ет суммы, крат­ные 10 руб­лям. Аня хочет по­ло­жить на счет сво­е­го мо­биль­но­го те­ле­фо­на не мень­ше 500 руб­лей. Какую ми­ни­маль­ную сумму она долж­на по­ло­жить в при­ем­ное устрой­ство дан­но­го тер­ми­на­ла?

По­яс­не­ние.

После упла­ты 8% ко­мис­сии на счет те­ле­фо­на остаётся 92% вно­си­мой суммы, ко­то­рая долж­на быть не мень­ше 500 руб­лей. Если нужно вне­сти x руб­лей, то 0,92x ≥ 500, от­ку­да x ≥ 543. По­это­му x = 550 руб.

 

Ответ: 550.

4. За­да­ние 4 № 508405. В стро­и­тель­ной фирме «Род­ник» сто­и­мость (в руб­лях) ко­лод­ца из же­ле­зо­бе­тон­ных колец рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле С = 5000 + 4300n, где n ― число колец, уста­нов­лен­ных при ко­па­нии ко­лод­ца. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, рас­счи­тай­те сто­и­мость ко­лод­ца из 4 колец. Ответ ука­жи­те в руб­лях.

По­яс­не­ние.

Под­ста­вим зна­че­ние n = 4 в фор­му­лу для вы­чис­ле­ния сто­и­мо­сти ко­лод­ца: C = 5000 + 4300 · 4 = 22 400 руб­лей.

 

Ответ: 22 200.

5. За­да­ние 5 № 505444. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

По­яс­не­ние.

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла  :

 

Ответ: −6.

6. За­да­ние 6 № 26640. Павел Ива­но­вич купил аме­ри­кан­ский ав­то­мо­биль, спи­до­метр ко­то­ро­го по­ка­зы­ва­ет ско­рость в милях в час. Аме­ри­кан­ская миля равна 1609 м. Ка­ко­ва ско­рость ав­то­мо­би­ля в ки­ло­мет­рах в час, если спи­до­метр по­ка­зы­ва­ет 65 миль в час? Ответ округ­ли­те до це­ло­го числа.

 

По­яс­не­ние.

Если спи­до­метр по­ка­зы­ва­ет ско­рость 65 миль в час, зна­чит, в ки­ло­мет­рах это будет 65   1,609 = 104,585 км в час.

 

Ответ: 105.

7. За­да­ние 7 № 505143. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 

По­яс­не­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

 

.

 

Ответ: 5.

8. За­да­ние 8 № 119979. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну   (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 2 м/с?

 

 

По­яс­не­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:   м/с. Чтобы найти, в какой мо­мент вре­ме­ни   ско­рость была равна 2 м/с, решим урав­не­ние:

 

с.

 

 

Ответ: 7.

9. За­да­ние 9 № 506412. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца.

 

ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ		ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ
А) объём воды в Азов­ском море Б) объём ящика с ин­стру­мен­та­ми В) объём гру­зо­во­го от­се­ка транс­порт­но­го самолёта Г) объём бу­тыл­ки рас­ти­тель­но­го масла		1) 150 м3 2) 1 л 3) 76 л 4) 256 км3

 

В таб­ли­це под каж­дой бук­вой, со­от­вет­ству­ю­щей ве­ли­чи­не, ука­жи­те номер её воз­мож­но­го зна­че­ния.

A	Б	В	Г

По­яс­не­ние.

Объем воды воды в Азов­ском море огро­мен и впол­не может быть 256 км³ , объем гру­зо­во­го от­се­ка транс­порт­но­го са­мо­ле­та около 150 м³, объем ящика с ин­стру­мен­та­ми ори­ен­ти­ро­воч­но 76 л, объем бу­тыл­ки рас­ти­тель­но­го масла обыч­но литр. По­лу­чи­ли со­от­вет­ствие А - 4, В - 1, Б - 3 и Г - 2. Окон­ча­тель­но по­лу­чим 4312.

 

Ответ: 4312.

10. За­да­ние 10 № 321157.

 

На рок-фе­сти­ва­ле вы­сту­па­ют груп­пы — по одной от каж­дой из за­яв­лен­ных стран. По­ря­док вы­ступ­ле­ния опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что груп­па из Китая будет вы­сту­пать после груп­пы из Ка­на­ды и после груп­пы из Ан­глии? Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

 

По­яс­не­ние.

Общее ко­ли­че­ство вы­сту­па­ю­щих на фе­сти­ва­ле групп для от­ве­та на во­прос не­важ­но. Сколь­ко бы их ни было, для ука­зан­ных стран есть 6 спо­со­бов вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния среди вы­сту­па­ю­щих (Ки — Китай, Ка — Ка­на­да, А — Ан­глия):

 

...Ки...Ка...А..., ...Ки...А...Ка..., ...Ка...А...Ки..., ...Ка...Ки...А..., ...А...Ки...Ка..., ...А...Ка...Ки...

 

Китай на­хо­дит­ся после Ка­на­ды и Ан­глии в двух слу­ча­ях. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что груп­пы слу­чай­ным об­ра­зом будут рас­пре­де­ле­ны имен­но так, равна

 

 

Ответ: 0,33.

За­ме­ча­ние.

Пусть тре­бу­ет­ся найти ве­ро­ят­ность того, что ки­тай­ские му­зы­кан­ты ока­жут­ся по­след­ни­ми среди  вы­сту­па­ю­щих от раз­ных го­су­дарств групп. По­ста­вим ко­ман­ду Китая на по­след­нее место и най­дем ко­ли­че­ство пе­ре­ста­но­вок без по­вто­ре­ний из   преды­ду­щих групп: оно равно   Общее ко­ли­че­ство пе­ре­ста­но­вок из всех   групп равно   По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

 

 

11. За­да­ние 11 № 42735. Ав­то­мо­биль, масса ко­то­ро­го равна   кг, на­чи­на­ет дви­гать­ся с уско­ре­ни­ем, ко­то­рое в те­че­ние t се­кунд остаeтся не­из­мен­ным, и про­хо­дит за это время путь   мет­ров. Зна­че­ние силы (в нью­то­нах), при­ло­жен­ной в это время к ав­то­мо­би­лю, равно  . Опре­де­ли­те наи­боль­шее время после на­ча­ла дви­же­ния ав­то­мо­би­ля, за ко­то­рое он пройдeт ука­зан­ный путь, если из­вест­но, что сила F, при­ло­жен­ная к ав­то­мо­би­лю, не мень­ше 1200 Н. Ответ вы­ра­зи­те в се­кун­дах.

По­яс­не­ние.

Най­дем, за какое время ав­то­мо­биль прой­дет путь   мет­ров, учи­ты­вая, что сила   при за­дан­ном зна­че­нии массы ав­то­мо­би­ля 1200 H. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства  при за­дан­ном зна­че­нии массы ав­то­мо­би­ля   кг:

 с.

Ответ: 50.

12. За­да­ние 12 № 506827. Для того чтобы свя­зать сви­тер, хо­зяй­ке нужно 400 грам­мов шер­стя­ной пряжи си­не­го цвета. Можно ку­пить синюю пряжу по цене 60 руб­лей за 50 грам­мов, а можно ку­пить не­окра­шен­ную пряжу по цене 50 руб­лей за 50 грам­мов и окра­сить её. Один па­ке­тик крас­ки стоит 10 руб­лей и рас­счи­тан на окрас­ку 200 грам­мов пряжи. Какой ва­ри­ант по­куп­ки де­шев­ле? В от­ве­те на­пи­ши­те, сколь­ко руб­лей будет сто­ить эта по­куп­ка.

По­яс­не­ние.

Рас­смот­рим раз­лич­ные ва­ри­ан­ты.

Если по­ку­пать го­то­вую пряжу си­не­го цвета, то сто­и­мость сви­те­ра будет:

 

 

На не­окра­шен­ную пряжу нужно по­тра­тить:

 

 

Но на окрас­ку пряжи по­тре­бу­ет­ся 2 па­ке­ти­ка по 10 руб., то есть еще 20 руб. Итого на сви­тер из са­мо­сто­я­тель­но окра­шен­ной пряжи по­тра­тит­ся 420 руб.

Вто­рой ва­ри­ант де­шев­ле, чем пер­вый.

 

Ответ: 420.

13. За­да­ние 13 № 112517. Из го­ро­дов A и B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 300 км, нав­стре­чу друг другу од­но­вре­мен­но вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля и встре­ти­лись через 2 часа на рас­сто­я­нии 180 км от го­ро­да B. Най­ди­те ско­рость ав­то­мо­би­ля, вы­ехав­ше­го из го­ро­да A. Ответ дайте в км/ч.

По­яс­не­ние.

Ав­то­мо­биль, вы­ехав­ший из го­ро­да A, пре­одо­лел рас­сто­я­ние 300 −180 = 120 км за 2 часа. Пусть  км/ч — ско­рость дан­но­го ав­то­мо­би­ля. Зна­чит, его ско­рость 60 км/ч.

Ответ: 60.

14. За­да­ние 14 № 26718. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции   на от­рез­ке 

По­яс­не­ние.

Функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем ее про­из­вод­ную:

 

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

 

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке, и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке   за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

 

Ответ: 4.

15. За­да­ние 15 № 27438.  В па­рал­ле­ло­грам­ме    . Най­ди­те  .

По­яс­не­ние.

 

Ответ: 0,7.

16. За­да­ние 16 № 27101.  Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 3. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 36. Най­ди­те его диа­го­наль.

По­яс­не­ние.

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен

 

.

От­сю­да най­дем тре­тье ребро:

 

.

Длина диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна

 

.

Ответ: 7.

17. За­да­ние 17 № 506542. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа   и  .

 

 

Рас­по­ло­жи­те числа в по­ряд­ке убы­ва­ния:

 

1)

2)

3)

4)

По­яс­не­ние.

Из ри­сун­ка видно, что   Из дан­ных четырёх чисел   — един­ствен­ное от­ри­ца­тель­ное, то есть самое ма­лень­кое. За­ме­тим, что  , тогда и  , и   Так как     тогда и  .

Таким об­ра­зом, 

18. За­да­ние 18 № 507966. В груп­пе учат­ся 30 сту­ден­тов, из них 20 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёт по эко­но­ми­ке и 20 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёт по ан­глий­ско­му языку. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из при­ведённых дан­ных. В этой груп­пе

 

1) най­дут­ся 11 сту­ден­тов, не по­лу­чив­ших ни од­но­го зачёта

2) хотя бы 10 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёты и по эко­но­ми­ке, и по ан­глий­ско­му языку

3) не боль­ше 20 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёты и по эко­но­ми­ке, и по ан­глий­ско­му языку

4) найдётся сту­дент, ко­то­рый не по­лу­чил зачёта по ан­глий­ско­му языку, но по­лу­чил зачёт по эко­но­ми­ке

 

В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

По­яс­не­ние.

1) Утвер­жде­ние про­ти­во­ре­чит при­ведённым дан­ным, по­сколь­ку даже если 20 че­ло­век по­лу­чи­ли зачёт по од­но­му пред­ме­ту, и те же 20 че­ло­век по вто­ро­му, не по­лу­чив­ших зачёт будет всего 10.

2) По­пы­та­ем­ся найти ми­ни­маль­ное число сту­ден­тов, по­лу­чив­ших оба зачёта при дан­ном усло­вии. Пусть, на­при­мер, 20 сту­ден­тов из 30 по­лу­чи­ли зачёт по эко­но­ми­ке, а остав­ши­е­ся 10 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёт по ан­глий­ско­му языку. Зна­чит, есть ещё 10 сту­ден­тов, ко­то­рые по­лу­чи­ли зачёт по ан­глий­ско­му языку и это сту­ден­ты с не­об­хо­ди­мо­стью вхо­дят в число тех, кто по­лу­чил зачёт по эко­но­ми­ке. Таким об­ра­зом, как ми­ни­мум 10 сту­ден­тов по­лу­чат оба зачёта. Утвер­жде­ние сле­ду­ет из при­ведённых дан­ных.

3) Утвер­жде­ние сле­ду­ет из при­ведённых дан­ных. Мак­си­маль­но число сту­ден­тов, сдав­ших хотя бы один зачёт — 20, по­это­му и мак­си­маль­ное число тех, кто по­лу­чил оба зачёта не боль­ше два­дца­ти.

4) Воз­мож­но из всей груп­пы одни и те же 20 че­ло­век по­лу­чи­ли зачёт по обоим пред­ме­там. Утвер­жде­ние не сле­ду­ет из при­ведённых дан­ных.

 

Ответ: 23.

19. За­да­ние 19 № 506645. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 3, на 4 и на 5 даёт в остат­ке 2 и в за­пи­си ко­то­ро­го есть толь­ко две раз­лич­ные цифры. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Раз число даёт один и тот же оста­ток по мо­ду­лю 3, 4 и 5, то оно даёт такой же оста­ток и по мо­ду­лю . А зна­чит, число имеет вид   Все числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие этому не­ра­вен­ству: 542, 602, 662, 722, 782, 842, 902, 962. Из них удо­вле­тво­ря­ют усло­вию про две раз­лич­ные цифры: 662, 722.

20. За­да­ние 20 № 507082. При де­мон­стра­ции лет­ней одеж­ды на­ря­ды каж­дой ма­не­кен­щи­цы от­ли­ча­ют­ся хотя бы одним из трёх эле­мен­тов: блуз­кой, юбкой и туф­ля­ми. Всего мо­де­льер при­го­то­вил для де­мон­стра­ции 5 видов блу­зок, 3 вида юбок и 4 вида ту­фель. Сколь­ко раз­лич­ных на­ря­дов будет по­ка­за­но на этой де­мон­стра­ции?

По­яс­не­ние.

Ма­не­кен­щи­цу можно одеть 5 · 3 · 4 = 60 спо­со­ба­ми.

 

Ответ: 60.