Вариант №2

1. За­да­ние 1 № 506986. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

По­яс­не­ние.

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 2,28.

2. За­да­ние 2 № 506817. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .

По­яс­не­ние.

Ис­поль­зу­ем свойтва сте­пе­ней:

 

 

Ответ: 9.

3. За­да­ние 3 № 506426. Товар на рас­про­да­же уце­ни­ли на 45%, при этом он стал сто­ить 770 р. Сколь­ко руб­лей стоил товар до рас­про­да­жи?

По­яс­не­ние.

Найдём сколь­ко руб­лей от сто­и­мо­сти то­ва­ра со­став­ля­ют 45%:

 

 

Найдём сто­и­мость то­ва­ра до рас­про­да­жи:

 

 

 

Ответ: 1400.

4. За­да­ние 4 № 506367. Сред­нее гео­мет­ри­че­ское трёх чисел   и   вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле   Вы­чис­ли­те сред­нее гео­мет­ри­че­ское чисел 5, 25, 27.

По­яс­не­ние.

Под­ста­вим зна­че­ния в фор­му­лу и вы­чис­лим:

 

Ответ: 15.

5. За­да­ние 5 № 67807.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния   при  .

По­яс­не­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 576.

6. За­да­ние 6 № 506136. Улит­ка за день за­ле­за­ет вверх по де­ре­ву на 3 м, а за ночь спус­ка­ет­ся на 2 м. Вы­со­та де­ре­ва 10 м. За сколь­ко дней улит­ка под­ни­мет­ся на вер­ши­ну де­ре­ва?

По­яс­не­ние.

За пер­вый день улит­ка под­ни­мет­ся на 3 м и опу­стит­ся на 2 м. То есть к на­ча­лу сле­ду­ю­ще­го дня она ока­жет­ся на вы­со­те 1 м. На сле­ду­ю­щий день улит­ка вновь про­ползёт 3 м и за ночь опу­стит­ся на 2 м. Таким об­ра­зом, через семь дней и семь ночей улит­ка ока­жет­ся на вы­со­те 7 м, и за вось­мой день под­ни­мет­ся до вер­ши­ны де­ре­ва на вы­со­ту 10 м.

 

Ответ: 8.

7. За­да­ние 7 № 508039. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 

По­яс­не­ние.

Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

 

 

Ответ: 8.

8. За­да­ние 8 № 318039. Н а ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции   и от­ме­че­ны точки −2, −1, 3, 4. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­боль­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

По­яс­не­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. Про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на в точ­ках −2, 4, равна нулю в точке −1, по­ло­жи­тель­на в точке 3. Тем самым зна­че­ние про­из­вод­ной наи­боль­шее в точке 3.

 

Ответ: 3.

 

При­ме­ча­ние: По гра­фи­ку труд­но опре­де­лить точно, как ведет себя функ­ция в точке х = −1. Если счи­тать, что это точка мак­си­му­ма, то про­из­вод­ная в ней равна нулю. Если же счи­тать, что эта точка чуть левее точки мак­си­му­ма, то в ней функ­ция воз­рас­та­ет, а про­из­вод­ная "чуть-чуть" боль­ше нуля. На ответ это не вли­я­ет, так как в точке х = 3, функ­ция "растёт более круто", а зна­чит про­из­вод­ная в этой точке боль­ше.

9. За­да­ние 9 № 506512. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца.

 

ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ		ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ
А) пло­щадь тер­ри­то­рии Рос­сии Б) пло­щадь по­верх­но­сти тум­боч­ки В) пло­щадь поч­то­вой марки Г) пло­щадь бас­кет­боль­ной пло­щад­ки		1) 364 кв. м 2) 0,2 кв. м 3) 17,1 млн. кв. км 4) 6,8 кв. см

 

В таб­ли­це под каж­дой бук­вой, со­от­вет­ству­ю­щей ве­ли­чи­не, ука­жи­те номер её воз­мож­но­го зна­че­ния.

A	Б	В	Г

По­яс­не­ние.

Пло­щадь Рос­сии ко­лос­саль­на и со­став­ля­ет 17,1 млн. кв. км, пло­щадь бас­кет­боль­ной пло­щад­ки ори­ен­ти­ро­воч­но 364 кв. м., пло­щадь по­верх­но­сти тум­боч­ки 0,2 кв. м = 2000 кв. см., а пло­щадь поч­то­вой марки нав­скид­ку 6,8 кв. см. По­лу­чи­ли со­от­вет­ствие А - 3, Г - 1, Б - 2 и В - 4. Окон­ча­тель­но по­лу­чим 3241.

 

Ответ: 3241.

10. За­да­ние 10 № 285924. На се­ми­нар при­е­ха­ли 3 уче­ных из Нор­ве­гии, 3 из Рос­сии и 4 из Ис­па­нии. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вось­мым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Рос­сии.

По­яс­не­ние.

Всего в се­ми­на­ре при­ни­ма­ет уча­стие 3 + 3 + 4 = 10 уче­ных, зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что уче­ный, ко­то­рый вы­сту­па­ет вось­мым, ока­жет­ся из Рос­сии, равна 3:10 = 0,3.

 

Ответ: 0,3.

11. За­да­ние 11 № 27991. В ходе рас­па­да ра­дио­ак­тив­но­го изо­то­па, его масса умень­ша­ет­ся по за­ко­ну  , где   – на­чаль­ная масса изо­то­па,   (мин) – про­шед­шее от на­чаль­но­го мо­мен­та время,   – пе­ри­од по­лу­рас­па­да в ми­ну­тах. В ла­бо­ра­то­рии по­лу­чи­ли ве­ще­ство, со­дер­жа­щее в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни   мг изо­то­па  , пе­ри­од по­лу­рас­па­да ко­то­ро­го   мин. В те­че­ние сколь­ких минут масса изо­то­па будет не мень­ше 5 мг?

По­яс­не­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства   при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров  мг и   мин:

 

 мин.

Ответ: 30.

12. За­да­ние 12 № 508003. Ту­рист под­би­ра­ет экс­кур­сии. Све­де­ния об экс­кур­си­ях пред­став­ле­ны в таб­ли­це.

 

Номер экс­кур­сии	По­се­ща­е­мые объ­ек­ты	Сто­и­мость (руб.)
1	за­го­род­ный дво­рец	200
2	кре­пость	150
3	музей жи­во­пи­си	250
4	музей жи­во­пи­си, парк	250
5	парк, кре­пость	450
6	музей жи­во­пи­си, за­го­род­ный дво­рец	250

 

Поль­зу­ясь таб­ли­цей, под­бе­ри­те набор экс­кур­сий так, чтобы ту­рист по­се­тил че­ты­ре объ­ек­та: кре­пость, за­го­род­ный дво­рец, парк и музей жи­во­пи­си, а сум­мар­ная сто­и­мость экс­кур­сий не пре­вы­ша­ла бы 650 руб­лей. В от­ве­те ука­жи­те ровно один набор но­ме­ров экс­кур­сий без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

По­яс­не­ние.

Ту­рист дол­жен по­се­тить кре­пость, а зна­чит ему надо брать либо вто­рой, либо пятый билет.

Пусть он вы­брал вто­рой, тогда он возь­мет пер­вый и четвёртый и по­тра­тит 150 + 200 + 250 = 600 руб­лей.

Вы­брав пятый билет нель­зя вы­брать осталь­ные би­ле­ты так, чтобы сум­мар­ная сто­и­мость экс­кур­сий не пре­вы­ша­ла 650 руб­лей.

Таким об­ра­зом, но­ме­ра экс­кур­сий будут 1, 2 и 4.

 

Ответ: 124.

13. За­да­ние 13 № 316555. Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна  . Най­ди­те ра­ди­ус сферы.

По­яс­не­ние.

Вы­со­та ко­ну­са пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию и равна ра­ди­у­су сферы. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

 

 

По­сколь­ку по усло­вию об­ра­зу­ю­щая равна   ра­ди­ус сферы равен 7.

 

Ответ:7.

14. За­да­ние 14 № 506545. На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия.

 

 

Поль­зу­ясь диа­грам­мой, уста­но­ви­те связь между про­ме­жут­ка­ми вре­ме­ни и ха­рак­те­ром из­ме­не­ния тем­пе­ра­ту­ры.

 

ПРО­МЕ­ЖУТ­КИ ВРЕ­МЕ­НИ		ХА­РАК­ТЕР ИЗ­МЕ­НЕ­НИЯ ТЕМ­ПЕ­РА­ТУ­РЫ
А) 00:00−06:00 Б) 06:00−12:00 В) 12:00−18:00 Г) 18:00−00:00		1) Тем­пе­ра­ту­ра была от­ри­ца­тель­на 2) Тем­пе­ра­ту­ра была по­ло­жи­тель­на 3) Тем­пе­ра­ту­ра росла быст­рее всего 4) Тем­пе­ра­ту­ра умень­ша­лась быст­рее всего

 

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В	Г

По­яс­не­ние.

В про­ме­жут­ке вре­ме­ни от 00:00 до 06:00 тем­пе­ра­ту­ра была от­ри­ца­тель­на — упала с -3° до -6° (А — 1).

В про­ме­жут­ке вре­ме­ни от 06:00 до 12:00 тем­пе­ра­ту­ра росла быст­рее всего — под­ня­лась аж на 12° (Б — 3).

В про­ме­жут­ке вре­ме­ни от 12:00 до 18:00 тем­пе­ра­ту­ра была по­ло­жи­тель­на — не опус­ка­лась ниже 6° (В — 2).

В про­ме­жут­ке вре­ме­ни от 18:00 до 00:00 тем­пе­ра­ту­ра умень­ша­лась быст­рее всего — упала аж на 8° (Г — 4).

 

Ответ: 1324.

15. За­да­ние 15 № 27290.  В тре­уголь­ни­ке    ,  . Най­ди­те  .

По­яс­не­ние.

Тре­уголь­ник   рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, вы­со­та   делит ос­но­ва­ние   по­по­лам, по­это­му

 

.

 

По опре­де­ле­нию

 

.

 

 

Ответ: 0,6.

16. За­да­ние 16 № 506831.  Най­ди­те объём пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна  , а бо­ко­вое ребро равно  .

По­яс­не­ние.

Найдём вы­со­ту MH:

Найдём объём пи­ра­ми­ды:

 

Ответ:16.

17. За­да­ние 17 № 506563. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний из пра­во­го столб­ца. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

 

НЕ­РА­ВЕН­СТВА		РЕ­ШЕ­НИЯ
А)  Б)  В)  Г)		1)  2)  3)  4)

 

Впи­ши­те в при­ведённую в от­ве­те таб­ли­цу под каж­дой бук­вой со­от­вет­ству­ю­щую цифру. 

А	Б	В	Г

По­яс­не­ние.

Найдём мно­же­ство ре­ше­ний каж­до­го не­ра­вен­ства.

А) 

Б) 

В) 

Г) 

18. За­да­ние 18 № 506521. При взве­ши­ва­нии жи­вот­ных в зоо­пар­ке вы­яс­ни­лось, что буй­вол тя­же­лее льва, мед­ведь легче буй­во­ла, а рысь легче льва. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из при­ведённых дан­ных.

1) Рысь легче мед­ве­дя.

2) Буй­вол самый тяжёлый из всех этих жи­вот­ных.

3) Мед­ведь тя­же­лее льва.

4) Рысь легче буй­во­ла.

 

В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

По­яс­не­ние.

М < Б > Л > P

1) Про то, кто из них легче, ни­че­го не из­вест­но.

2) Верно.

3) Это не сле­ду­ет из усло­вия.

4) Рысь легче льва, а лев легче буй­во­ла, зна­чит, рысь легче буй­во­ла.

19. За­да­ние 19 № 506585. При­ве­ди­те при­мер ше­сти­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 2 и де­лит­ся на 72. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Если число де­лит­ся на 72, то но де­лит­ся на 8 и на 9.

Если число де­лит­ся на 8, то число, об­ра­зо­ван­ное по­след­ни­ми его тремя циф­ра­ми, тоже де­лит­ся на 8. Ше­сти­знач­ных чисел из 1 и 2, де­ля­щиеся на 8 долж­ны за­кан­чи­вать­ся трой­кой цифр 112.

Если число де­лит­ся на 9, то сумма его цифр тоже де­лит­ся на 9.

112 даёт к сумме 4, то есть сумма пер­вых цифр долж­на рав­нять­ся 5, то есть долж­на со­сто­ять из пе­ре­ста­но­вок двух двоек и еди­ни­цы.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа: 122112, 212112, 221112.

 

Ответ: 122112, 212112 или 221112.

20. За­да­ние 20 № 506729. На гло­бу­се фло­ма­сте­ром про­ве­де­ны 17 па­рал­ле­лей (вклю­чая эк­ва­тор) и 24 ме­ри­ди­а­на. На сколь­ко ча­стей про­ведённые линии раз­де­ля­ют по­верх­ность гло­бу­са?

По­яс­не­ние.

Пред­ста­вим, что на гло­бу­се ещё не на­ри­со­ва­ны па­рал­ле­ли и ме­ри­ди­а­ны. За­ме­тим, что 24 ме­ри­ди­а­на раз­де­лят гло­бус на 24 части. Рас­смот­рим сек­тор, об­ра­зо­ван­ный двумя со­сед­ни­ми ме­ри­ди­а­на­ми. Про­ве­де­ние пер­вой па­рал­ле­ли раз­де­лит сек­тор на две части, про­ве­де­ние вто­рой до­ба­вить ещё одну часть, и так далее, таким об­ра­зом, 17 па­рал­ле­лей раз­де­лят сек­тор на 18 ча­стей. Сле­до­ва­тель­но, весь гло­бус будет раз­бит на 24 · 18 = 432 части.

 

Ответ: 432.