Базовый уровень Вариант №1

1. За­да­ние 1 № 506986. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

По­яс­не­ние.

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 2,28.

2. За­да­ние 2 № 506505. Най­ди­те част­ное от де­ле­ния   на  .

По­яс­не­ние.

Пе­ре­за­пи­шем усло­вие и ис­поль­зу­ем свой­ство сте­пе­ней:

 

 

Ответ: 0,2

3. За­да­ние 3 № 83785.

Сту­дент по­лу­чил свой пер­вый го­но­рар в раз­ме­ре 800 руб­лей за вы­пол­нен­ный пе­ре­вод. Он решил на все по­лу­чен­ные день­ги ку­пить букет роз для своей учи­тель­ни­цы ан­глий­ско­го языка. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство роз смо­жет ку­пить сту­дент, если удер­жан­ный у него налог на до­хо­ды со­став­ля­ет 13% го­но­ра­ра, розы стоят 100 руб­лей за штуку и букет дол­жен со­сто­ять из не­чет­но­го числа цве­тов?

По­яс­не­ние.

Налог со­ста­вит 800   0,13 = 104 рубля. После вы­пла­ты на­ло­га оста­нет­ся 800 − 104 = 696 руб­лей. На 696 руб­лей можно ку­пить 6 роз ценой 100 руб. В бу­ке­те долж­но быть не­чет­ное число цве­тов, по­это­му сту­дент купит 5 роз.

 

Ответ: 5.

4. За­да­ние 4 № 506550. Длина ме­ди­а­ны  , про­ведённой к сто­ро­не тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми  ,   и  , вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  . Тре­уголь­ник имеет сто­ро­ны     и  . Най­ди­те длину ме­ди­а­ны, про­ведённой к сто­ро­не длины  .

По­яс­не­ние.

Найдём длину ме­ди­а­ны, про­ведённой к сто­ро­не длины 6:

 

Ответ: 3.

5. За­да­ние 5 № 66179.

Най­ди­те  , если  .

По­яс­не­ние.

За­ме­тим, что

.

 

Тогда

 

.

Ответ: 2.

6. За­да­ние 6 № 506881. Для при­го­тов­ле­ния ма­ри­на­да для огур­цов на 1 литр воды тре­бу­ет­ся 12 г ли­мон­ной кис­ло­ты. Ли­мон­ная кис­ло­та про­да­ет­ся в па­ке­ти­ках по 10 г. Какое наи­мень­шее число па­ке­ти­ков нужно ку­пить хо­зяй­ке для при­го­тов­ле­ния 6 лит­ров ма­ри­на­да?

По­яс­не­ние.

Узна­ем сколь­ко грамм ли­мон­ной кис­ло­ты потре­бу­ет­ся для при­го­тов­ле­ния 7 лит­ров ма­ри­на­да:

 

 

Узна­ем сколь­ко нужно па­ке­ти­ков:

 

 

Ясно, что хо­зяй­ке для при­го­тов­ле­ния 6 лит­ров ма­ри­на­да по­тре­бу­ет­ся 8 пол­ных па­ке­ти­ков ли­мон­ной кис­ло­ты.

 

Ответ: 8.

7. За­да­ние 7 № 26662. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:  .

 

По­яс­не­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 13.

8 . За­да­ние 8 № 8539. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции  ,

опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле  .

Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции 

В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

По­яс­не­ние.

Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на, то есть ин­тер­ва­лам (−1; 0), (2; 7), (12; 15). Наи­боль­ший из них — ин­тер­вал (2; 7), длина ко­то­ро­го 5.Ответ: 5.

9. За­да­ние 9 № 506595. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми:

к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент

из вто­ро­го столб­ца.

 

ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ		ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ
А) тол­щи­на во­ло­са Б) рост но­во­рож­ден­но­го ребёнка В) длина фут­боль­но­го поля Г) длина эк­ва­то­ра		1) 40 000 км 2) 50 см 3) 0,1 мм 4) 90 м

 В таб­ли­це под каж­дой бук­вой, со­от­вет­ству­ю­щей ве­ли­чи­не, ука­жи­те номер её воз­мож­но­го зна­че­ния.

А	Б	В	Г

По­яс­не­ние. Упо­ря­до­чим по воз­рас­та­нию длины: волос, ре­бе­нок, поле и эк­ва­тор. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствие: А — 3, Б — 2, В — 4, Г — 1.Ответ: 3241.

 

10. За­да­ние 10 № 506763. На эк­за­ме­не по гео­мет­рии школь­ник от­ве­ча­ет на один во­прос из спис­ка эк­за­ме­на­ци­он­ных во­про­сов. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос по теме «Впи­сан­ная окруж­ность», равна 0,1. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос по теме «Три­го­но­мет­рия», равна 0,35. Во­про­сов, ко­то­рые од­но­вре­мен­но от­но­сят­ся к этим двум темам, нет. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по одной из этих двух тем.

По­яс­не­ние. Ве­ро­ят­ность суммы двух не­сов­мест­ных со­бы­тий равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,1 + 0,35 = 0,45. Ответ: 0,45.

11. За­да­ние 11 № 28008. При нор­маль­ном па­де­нии света с дли­ной волны   нм на ди­фрак­ци­он­ную решeтку с пе­ри­о­дом   нм на­блю­да­ют серию ди­фрак­ци­он­ных мак­си­му­мов. При этом угол  (от­счи­ты­ва­е­мый от пер­пен­ди­ку­ля­ра к решeтке), под ко­то­рым на­блю­да­ет­ся мак­си­мум, и номер мак­си­му­ма   свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем  . Под каким ми­ни­маль­ным углом   (в гра­ду­сах) можно на­блю­дать вто­рой мак­си­мум на решeтке с пе­ри­о­дом, не пре­вос­хо­дя­щим 1600 нм?

По­яс­не­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства   нм на ин­тер­ва­ле   при за­дан­ных зна­че­ни­ях длины волны света   нм и но­ме­ра мак­си­му­ма  :

  Ответ: 30.

12. За­да­ние 12 № 506638. Для об­ра­бот­ки дач­но­го участ­ка дач­ни­ку не­об­хо­ди­мо при­об­ре­сти ло­па­ту, тяпку, вилы и граб­ли. В ма­га­зи­не про­да­ют­ся на­бо­ры ин­стру­мен­тов, не­ко­то­рые на­бо­ры со­сто­ят толь­ко из од­но­го ин­стру­мен­та. Цены при­ве­де­ны в таб­ли­це.

 

Номер на­бо­ра	Ин­стру­мен­ты	Сто­и­мость (руб.)
1	Ло­па­та, вилы	380
2	Вилы	210
3	Граб­ли	170
4	Ло­па­та	130
5	Тяпка, граб­ли	410
6	Тяпка, вилы	460

 

Поль­зу­ясь таб­ли­цей, со­бе­ри­те пол­ный ком­плект не­об­хо­ди­мых ин­стру­мен­тов так, чтобы сум­мар­ная сто­и­мость была наи­мень­шей. В от­ве­те для со­бран­но­го ком­плек­та ука­жи­те но­ме­ра на­бо­ров без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

По­яс­не­ние.

Дач­ник дол­жен при­об­ре­сти тяпку, а зна­чит взять набор 5 или 6.

Пусть он вы­брал пятый набор, тогда он берет либо 2 и 4 на­бо­ры за­тра­тив за 410 + 210 + 130 = 750 руб., либо пер­вый набор за 410 + 380 = 790 руб.

Пусть он вы­брал ше­стой набор, тогда он берет 3 и 4 на­бо­ры за 460 + 130 + 170 = 760 руб.

Таким об­ра­зом, де­шев­ле всего будет при­об­ре­сти на­бо­ры 2, 4 и 5.

 

Ответ: 245.

13. За­да­ние 13 № 26590. От при­ста­ни A к при­ста­ни B от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 1 час после этого сле­дом за ним со ско­ро­стью на 1 км/ч боль­шей от­пра­вил­ся вто­рой. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми равно 420 км. Най­ди­те ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, если в пункт B оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но. Ответ дайте в км/ч.

По­яс­не­ние.

Пусть   км/ч — ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, тогда ско­рость вто­ро­го теп­ло­хо­да по те­че­нию равна   км/ч. Пер­вый теп­ло­ход на­хо­дил­ся в пути на 1 час боль­ше, чем вто­рой, от­сю­да имеем:

 

Таким об­ра­зом, ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да равна 20 км/ч.

Ответ: 20.

14. За­да­ние 14 № 131575.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции  .

По­яс­не­ние.

За­ме­тим, что  . Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции — от­кры­тый луч  . Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 

 

Най­ден­ная точка лежит на луче   Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма  .

 

Ответ: 4.

15. За­да­ние 15 № 250987.

Най­ди­те (в см²) пло­щадь S за­кра­шен­ной фи­гу­ры, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки

1 см   1 см (см. рис.). В от­ве­те за­пи­ши­те  .

 

По­яс­не­ние.

Пло­щадь фи­гу­ры равна трем чет­вер­тым пло­ща­ди круга, ра­ди­ус ко­то­ро­го равен   см. По­это­му

 

 см².

Ответ: 0,75.

16. За­да­ние 16 № 508007.  Даны два ко­ну­са. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния и об­ра­зу­ю­щая пер­во­го ко­ну­са равны со­от­вет­ствен­но 7 и 9, а вто­ро­го — 2 и 9. Во сколь­ко раз пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пер­во­го ко­ну­са боль­ше пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти вто­ро­го?

По­яс­не­ние.

Найдём пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го ко­ну­са:   Найдём пло­щадь по­верх­но­сти вто­ро­го ко­ну­са:   Тогда от­но­ше­ние пло­ща­дей:

 

 

Ответ: 3,5.

17. За­да­ние 17 № 506261. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой точ­ка­ми от­ме­че­ны числа a, b, c, d и m. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ука­зан­ны­ми точ­ка­ми и чис­ла­ми из пра­во­го столб­ца.

 

ТОЧКИ		ЧИСЛА
		1)  2)  3)  4)

 

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

a	b	c	d

По­яс­не­ние.

За­ме­тим, что   при­мер­но равно   Сле­до­ва­тель­но,         Таким об­ра­зом, точка   со­от­вет­ству­ет числу     — числу     — числу     — числу 

18. За­да­ние 18 № 506381. В доме Кости боль­ше эта­жей, чем в доме Олега, в доме Тани мень­ше эта­жей, чем в доме Олега, а в доме Феди боль­ше эта­жей, чем в Та­ни­ном доме. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из при­ведённых дан­ных.

 

1) Дом Тани самый ма­ло­этаж­ный среди пе­ре­чис­лен­ных четырёх.

2) В доме Олега мень­ше эта­жей, чем в доме Феди.

3) В Ко­сти­ном доме боль­ше эта­жей, чем в Та­ни­ном.

4) Среди этих четырёх домов точно нет двух с оди­на­ко­вым ко­ли­че­ством эта­жей.

 

В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

По­яс­не­ние.

К > O > T < Ф

1) Верно.

2) Не­до­ста­точ­но дан­ных, чтобы такое утвер­ждать.

3) Верно.

4) Опять же, не­до­ста­точ­но дан­ных. Воз­мож­но, что ко­ли­че­ство эта­жей в доме Феди сов­па­да­ет с ко­ли­че­ством эта­жей в домах Кости или Олега.

19. За­да­ние 19 № 506585. При­ве­ди­те при­мер ше­сти­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 2 и де­лит­ся на 72. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Если число де­лит­ся на 72, то но де­лит­ся на 8 и на 9.

Если число де­лит­ся на 8, то число, об­ра­зо­ван­ное по­след­ни­ми его тремя циф­ра­ми, тоже де­лит­ся на 8. Ше­сти­знач­ных чисел из 1 и 2, де­ля­щиеся на 8 долж­ны за­кан­чи­вать­ся трой­кой цифр 112.

Если число де­лит­ся на 9, то сумма его цифр тоже де­лит­ся на 9.

112 даёт к сумме 4, то есть сумма пер­вых цифр долж­на рав­нять­ся 5, то есть долж­на со­сто­ять из пе­ре­ста­но­вок двух двоек и еди­ни­цы.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа: 122112, 212112, 221112.

 

Ответ: 122112, 212112 или 221112.

20. За­да­ние 20 № 506731. Куз­не­чик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за пры­жок. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, в ко­то­рых куз­не­чик может ока­зать­ся, сде­лав ровно 6 прыж­ков, на­чи­ная пры­гать из на­ча­ла ко­ор­ди­нат?

По­яс­не­ние.

За­ме­тим, что куз­не­чик может ока­зать­ся толь­ко в точ­ках с чётными ко­ор­ди­на­та­ми, по­сколь­ку число прыж­ков, ко­то­рое он де­ла­ет, — чётно. Мак­си­маль­но куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках, мо­дуль ко­то­рых не пре­вы­ша­ет шести. Таким об­ра­зом, куз­не­чик может ока­зать­ся в точ­ках: −6, −4, −2, 0, 2, 4 и 6; всего 7 точек.

 

Ответ: 7.