Вариант №2 ( профиль)

1. За­да­ние 1 № 24429. В лет­нем ла­ге­ре на каж­до­го участ­ни­ка по­ла­га­ет­ся 30 г са­ха­ра в день. В ла­ге­ре 148 че­ло­век. Сколь­ко ки­ло­грам­мо­вых упа­ко­вок са­ха­ра по­на­до­бит­ся на весь ла­герь на 5 дней?

Ре­ше­ние. На 148 че­ло­век на 1 день по­ла­га­ет­ся 148   30 = 4440 г са­ха­ра, на 5 дней — 4440   5 = 22 200 г. Раз­де­лим 22 200 на 1000:22 200 : 1000 = 22,2.Зна­чит, на весь ла­герь на 5 дней по­на­до­бит­ся 23 ки­ло­грам­мо­вых упа­ков­ки са­ха­ра. Ответ: 23.

2. За­да­ние 2 № 77247.

На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти во все дни с 10 по 29 но­яб­ря 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся дни ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта за дан­ный день. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, ка­ко­во наи­мень­шее су­точ­ное ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти в пе­ри­од с 16 по 21 но­яб­ря.

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что наи­мень­шее су­точ­ное ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей в пе­ри­од с 16 по 21 но­яб­ря со­ста­ви­ло 650 000 (см. ри­су­нок). Ответ: 650 000.

3. За­да­ние 3 № 506092. Стро­и­тель­ный под­ряд­чик пла­ни­ру­ет ку­пить 15 тонн об­ли­цо­воч­но­го кир­пи­ча у од­но­го из трёх по­став­щи­ков. Один кир­пич весит 5 кг. Цена кир­пи­ча и усло­вия до­став­ки всей по­куп­ки при­ве­де­ны в таб­ли­це.

 

По­став­щик	Цена кир­пи­ча (руб.за 1 шт.)	Сто­и­мость до­став­ки (руб­лей)	Спе­ци­аль­ные усло­вия
А	19	3000	Нет
Б	18	5000	До­став­ка бес­плат­ная, если сумма за­ка­за пре­вы­ша­ет 50 000 руб­лей
В	16	6500	При за­ка­зе то­ва­ра на сумму свыше 50 000 руб­лей скид­ка на до­став­ку 50%

 Во сколь­ко руб­лей обойдётся наи­бо­лее дешёвый ва­ри­ант по­куп­ки с учётом до­став­ки?

Ре­ше­ние. Не­об­хо­ди­мо ку­пить 15000 : 5 = 3000 кир­пи­чей. Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

 При по­куп­ке у по­став­щи­ка A сто­и­мость за­ка­за скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти кир­пи­ча 19 · 3 000  руб. и сто­и­мо­сти до­став­ки и равна 57 000 + 3 000 = 60 000 руб.

 При по­куп­ке у по­став­щи­ка Б сто­и­мость за­ка­за скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти кир­пи­ча 18 · 3 000 = 54 000 руб., до­став­ка в этом слу­чае будет бес­плат­на. То есть общая сто­и­мость по­куп­ки со­ста­вит 54 000 руб­лей. При по­куп­ке у по­став­щи­ка В сто­и­мость за­ка­за скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти кир­пи­ча 16 · 3 000 = 48 000 руб. и сто­и­мо­сти до­став­ки и равна 48 000 + 6 500 = 54 500 руб.

 Самый дешёвый ва­ри­ант обойдётся в 54 000 руб­лей. Ответ: 54 000.

4. За­да­ние 4 № 27677.  Точки O(0; 0), A(10; 8), C(2; 6) и B яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

Ре­ше­ние. Точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ков OA и BC. Ко­ор­ди­на­ты точки P вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: ,  ,но с дру­гой сто­ро­ны, ,  .

По­это­му  ,  . Ответ: 8.

5. За­да­ние 5 № 320170. В чем­пи­о­на­те мира участ­ву­ют 16 ко­манд. С по­мо­щью жре­бия их нужно раз­де­лить на че­ты­ре груп­пы по че­ты­ре ко­ман­ды в каж­дой. В ящике впе­ре­меш­ку лежат кар­точ­ки с но­ме­ра­ми групп:1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Ка­пи­та­ны ко­манд тянут по одной кар­точ­ке. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии ока­жет­ся во вто­рой груп­пе?

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии ока­жет­ся во вто­рой груп­пе, равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства кар­то­чек с но­ме­ром 2, к об­ще­му числу кар­то­чек. Тем самым, она равна

Ответ: 0,25.

6. За­да­ние 6 № 100257. Ре­ши­те урав­не­ние  . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те боль­ший из кор­ней.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

 

Ответ: 4.

7. За­да­ние 7 № 27380. В тре­уголь­ни­ке   угол   равен 90°,  ,  . Най­ди­те синус внеш­не­го угла при вер­ши­не  .

Ре­ше­ние. так как Ответ: 0,6.

8. За­да­ние 8 № 7789.  На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции  , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле  . В какой точке от­рез­ка     при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

Ре­ше­ние. На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке воз­рас­та­ет. Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на левой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке  Ответ: −7.

9. За­да­ние 9 № 72917.  Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пря­мой приз­мы, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб с диа­го­на­ля­ми, рав­ны­ми 3 и 4, и бо­ко­вым реб­ром, рав­ным 3.

Ре­ше­ние. Сто­ро­на ромба   вы­ра­жа­ет­ся через его диа­го­на­ли   и   фор­му­лой

. Най­дем пло­щадь ромба: Тогда пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна Ответ: 42.

10. За­да­ние 10 № 67131.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  , если  .

Ре­ше­ние. Най­дем   и  . Далее вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

. Ответ: −210.

11. За­да­ние 11 № 42377. При сбли­же­нии ис­точ­ни­ка и при­ем­ни­ка зву­ко­вых сиг­на­лов дви­жу­щих­ся в не­ко­то­рой среде по пря­мой нав­стре­чу друг другу ча­сто­та зву­ко­во­го сиг­на­ла, ре­ги­стри­ру­е­мо­го приeмни­ком, не сов­па­да­ет с ча­сто­той ис­ход­но­го сиг­на­ла   Гц и опре­де­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим вы­ра­же­ни­ем:   (Гц), где c — ско­рость рас­про­стра­не­ния сиг­на­ла в среде (в м/с), а   м/с и   м/с — ско­ро­сти приeмника и ис­точ­ни­ка от­но­си­тель­но среды со­от­вет­ствен­но. При какой мак­си­маль­ной ско­ро­сти c (в м/с) рас­про­стра­не­ния сиг­на­ла в среде ча­сто­та сиг­на­ла в приeмнике f будет не менее 135 Гц?

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства   Гц при из­вест­ных зна­че­ни­ях   м/с и   м/с – ско­ро­сти приёмника и ис­точ­ни­ка от­но­си­тель­но среды со­от­вет­ствен­но:

   м/с. Ответ: 821.

12. За­да­ние 12 № 27199.  Най­ди­те объем   части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те  .

Ре­ше­ние. Объем дан­ной части ци­лин­дра равен . Ответ: 937,5.

13. За­да­ние 13 № 324185. Два гон­щи­ка участ­ву­ют в гон­ках. Им пред­сто­ит про­ехать 46 кру­гов по коль­це­вой трас­се про­тяжённо­стью 4 км. Оба гон­щи­ка стар­то­ва­ли од­но­вре­мен­но, а на финиш пер­вый пришёл рань­ше вто­ро­го на 5 минут. Чему рав­ня­лась сред­няя ско­рость вто­ро­го гон­щи­ка, если из­вест­но, что пер­вый гон­щик в пер­вый раз обо­гнал вто­ро­го на круг через 60 минут? Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние. Пер­вый обо­гнал вто­ро­го на 4 км за час, это зна­чит, что ско­рость уда­ле­ния (сбли­же­ния) гон­щи­ков равна   км/ч. Обо­зна­чим ско­рость вто­ро­го гон­щи­ка   км/ч, тогда ско­рость пер­во­го   км/ч. Со­ста­вив и решив урав­не­ние где 184 км — длина всей трас­сы, 5 мин =   часа, по­лу­чим, что ско­рость вто­ро­го гон­щи­ка 92 км/ч. Ответ: 92.

14. За­да­ние 14 № 4323.Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции  .

Ре­ше­ние. Функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на   Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

  Най­дем нули про­из­вод­ной:

 Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма  Ответ: −4,8.

15. За­да­ние 15 № 507620. Ре­ши­те урав­не­ние: 

Ре­ше­ние. Урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме:

Урав­не­ние   ре­ше­ний не имеет. Учи­ты­вая, что   по­лу­ча­ем: 

 Ответ: 

16. За­да­ние 16 № 505408. Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равно 10, а ко­си­нус угла ASB при вер­ши­не бо­ко­вой грани равен    Точка M — се­ре­ди­на ребра SC. Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми BM и SA.

Ре­ше­ние.

Пусть   — се­ре­ди­на   По­сколь­ку   по тео­ре­ме о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка, угол   ис­ко­мый. Найдём сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка   По тео­ре­ме о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка   По тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка   по­лу­ча­ем:

  Чтобы найти   найдём сна­ча­ла сто­ро­ну ос­но­ва­ния по тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка 

 

Те­перь   как вы­со­та в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке со сто­ро­ной 8. Оста­лось  вы­чис­лить ко­си­нус нуж­но­го угла:

  Ответ: 

17. За­да­ние 17 № 508499. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

Ре­ше­ние. Сде­ла­ем за­ме­ну 

 

Тогда   или   от­ку­да:   или 

 Ответ: 

18. За­да­ние 18 № 507818. Точки D и E — ос­но­ва­ния высот не­пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, про­ведённых из вер­шин A и C со­от­ветс­твен­но. Из­вест­но, что   BC = a и AB = b. Най­ди­те сто­ро­ну AC.

Ре­ше­ние.1. Решим эту за­да­чу для слу­чая, когда ABC — ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке две его вы­со­ты от­се­ка­ют от него по­доб­ные тре­уголь­ни­ки. По­это­му, тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку BDE. Ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия этих тре­уголь­ни­ков яв­ля­ет­ся  . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка BEC

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка ABC

 

2. Решим эту за­да­чу для слу­чая, когда ABC - ту­по­уголь­ный тре­уголь­ник. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACH пря­мые AE и CD яв­ля­ют­ся вы­со­та­ми, сле­до­ва­тель­но, по свой­ствам вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, тре­уголь­ни­ки ACH и EDH яв­ля­ют­ся по­доб­ны­ми с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия   Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AEH

 

 Тре­уголь­ни­ки AEH и ABD по­доб­ны по двум углам, по­то­му что они имеют общий угол ∠A и оба пря­мо­уголь­ные. Сле­до­ва­тель­но ∠H=∠ABD, ∠ABC=180−∠ABD.

  По тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка ABC

 

Ответ: 

19. За­да­ние 19 № 506951. Банк под опре­де­лен­ный про­цент при­нял не­ко­то­рую сумму. Через год чет­верть на­коп­лен­ной суммы была снята со счета. Банк уве­ли­чил про­цент го­до­вых на 40%. К концу сле­ду­ю­ще­го года на­коп­лен­ная сумма в 1,44 раза пре­вы­си­ла пер­во­на­чаль­ный вклад. Каков про­цент новых го­до­вых?

Ре­ше­ние. Пусть банк пер­во­на­чаль­но при­нял вклад в раз­ме­ре   у.е. под   го­до­вых. Тогда к на­ча­лу вто­ро­го года сумма стала   у.е. После сня­тия чет­вер­ти на­коп­лен­ной суммы на счету оста­лось   у.е.

С мо­мен­та уве­ли­че­ния бан­ком про­цент­ной став­ки на 40% к концу вто­ро­го года хра­не­ния остат­ка вкла­да на­коп­лен­ная сумма стала  у.е.

По усло­вию за­да­чи эта сумма равна   у.е.

Решим урав­не­ние 

 

 

  

;  . Этот ко­рень не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи:   Новые го­до­вые со­став­ля­ют 20 + 40 = 60 %. Ответ: 60.

20. За­да­ние 20 № 505244. Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых любое ре­ше­ние урав­не­ния

  при­над­ле­жит от­рез­ку 

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим функ­цию   Она опре­де­ле­на при  воз­рас­та­ет на об­ла­сти опре­де­ле­ния и при­ни­ма­ет все зна­че­ния от   до   Зна­чит, урав­не­ние   имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. Это ре­ше­ние при­над­ле­жит от­рез­ку   тогда и толь­ко тогда, когда   и   По­лу­ча­ем си­сте­му не­ра­венств:

  Ответ: 

21. За­да­ние 21 № 484659. Бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Перед де­ся­тич­ной за­пя­той стоит нуль. После за­пя­той под­ряд вы­пи­са­ны члены воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел   В ре­зуль­та­те по­лу­чи­лось ра­ци­о­наль­ное число, ко­то­рое вы­ра­жа­ет­ся не­со­кра­ти­мой дро­бью, зна­ме­на­тель ко­то­рой мень­ше   Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние  .

Ре­ше­ние. Наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние тре­тье­го члена воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел  , при­чем толь­ко если   и  . То есть если де­ся­тич­ная дробь на­чи­на­ет­ся так:  (чет­вер­тая цифра не  ).

За­ме­тим, что таким об­ра­зом на­чи­на­ет­ся, на­при­мер, число

 

Най­дем число   и про­ве­рим, удо­вле­тво­ря­ет ли оно усло­ви­ям за­да­чи. Для этого за­пи­шем сумму по­дроб­нее.

В каж­дой строч­ке — сумма гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии со зна­ме­на­те­лем 

По фор­му­ле для суммы бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, по­лу­ча­ем:

 

По­лу­ча­ет­ся, что   — ра­ци­о­наль­ное число, и оно пред­став­ля­ет­ся дро­бью со зна­ме­на­те­лем 81, что мень­ше ста. Число   удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи и для этого числа  Ответ: 3.