Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Варианты проба май 11 класс.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

2.27 Mб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Вариант № 1(профиль)

1. Задание 1 № 77349. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

Решение. В октябре виноград подорожал на 60 0,25 = 15 рублей и стал стоить 60 + 15 = 75 рублей. В ноябре виноград подорожал на 75 0,2 = 15 рублей. Значит, после подорожания в ноябре 1 кг винограда стоил 75 + 15 = 90 рублей. Ответ: 90.

2. Задание 2 № 263983.На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия.Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался до температуры .

Решение. Из графика видно, что двигатель нагревается до температуры за 8 минут. Ответ: 8.

3. Задание 3 № 508959. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяжённостью 600 км. В таблице приведены характеристики трёх автомобилей и стоимость их аренды.

Автомобиль	Топливо	Расход топлива (л на 100 км)	Арендная плата (руб. за 1 сутки)
А	Дизельное	4	3600
Б	Бензин	9	3000
В	Газ	10	3300

Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Цена дизельного топлива — 16 рублей за литр, бензина — 21 рубль за литр, газа — 14,5 рублей за литр. Сколько рублей заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешёвый вариант? Решение.

Рассмотрим все варианты. На 600 км автомобилю A понадобится 4 · 6 = 24 л дизельного топлива. Стоимость его аренды в сутки складывается из арендной платы 3600 руб. и затрат на дизельное топливо 24 · 16 = 384 руб. Всего 3984 руб. На 600 км автомобилю Б понадобится 9 · 6 = 54 л бензина. Стоимость его аренды в сутки складывается из арендной платы 3000 руб. и затрат на бензин 54 · 21 = 1134 руб. Всего 4134 руб. На 600 км автомобилю В понадобится 10 · 6 = 60 л газа. Стоимость его аренды в сутки складывается из арендной платы 3300 руб. и затрат на газ 60 · 14,5 = 870 руб. Всего 4170 руб. Стоимость самого дешевого заказа составляет 3984 рубля. Ответ: 3984.

4. Задание 4 № 27562. Найдите (в см²) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). В ответе запишите .

Решение. Площадь фигуры равна трем четвертым площади круга, радиус которого равен см. Поэтому

см².Ответ: 12.

5. Задание 5 № 320188. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение. Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:

Ответ: 0,32.

6. Задание 6 № 506095. Найдите корень уравнения 3^x^−
5 = 81.

Решение. Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 9.

7. Задание 7 № 30117.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, , . Найдите .

Решение. Выполним преобразования: .

Ответ: 0,8.

8. Задание 8 № 27486. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение. Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований: В нашем случае имеем: Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1. Ответ: −1.

9. Задание 9 № 284354. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка .

Решение. Основание пирамиды — равносторонний треугольник, поэтому, точка является центром основания, а — высотой пирамиды . Ее объем вычисляется по формуле . Тогда Ответ: 1.

10. Задание 10 № 26861. Найдите значение выражения .

Решение. Выполним преобразования: .

Ответ: 7.

11. Задание 11 № 505169. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pV^k = const , где p – давление в газе в паскалях, V – объём газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него k = ) из начального состояния, в котором const = 7,29·10⁷ Па·м⁵, газ начинают сжимать. Какой наибольший объём V может занимать газ при давлении p не ниже 3·10⁵ Па ? Ответ выразите в кубических метрах.

Решение. Поскольку произведение давления на степень объёма постоянно, а давление не ниже , при заданных значениях параметров и Па м⁵ имеем неравенство:

.Ответ: 27.

12. Задание 12 № 245367. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите тангенс угла

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник катет которого является большей диагональю основания. Длина большей диагонали правильного шестиугольника равна его удвоенной стороне: . Поскольку имеем: Ответ: 2.

13. Задание 13 № 115027. Расстояние между пристанями A и B равно 105 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 40 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение.Скорость плота равна скорости течения реки 4 км/ч. Пусть км/ч — скорость яхты, тогда скорость яхты по течению равна км/ч, а скорость яхты против течения равна км/ч. Яхта, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A, а плоту понадобилось на час больше времени, чтобы пройти 40 км. Имеем:

Таким образом, скорость яхты в неподвижной воде была равна 24 км/ч. Ответ: 24.

14. Задание 14 № 128797. Найдите точку максимума функции .

Решение. Найдем производную заданной функции: .

Найдем нули производной: .

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума . Ответ: 49.

15. Задание 15 № 500386. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.

а) Запишем уравнение в виде

Значит, или — уравнение не имеет корней, или , откуда

б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку Получим число Ответ: а) б)

16. Задание 16 № 484559. В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и

Решение. Пусть и — середины ребер и соответственно. — медиана правильного треугольника следовательно, находится по формуле Прямая проецируется на плоскость основания и прямую Поэтому проекция точки — точка — лежит на отрезке Значит, прямая является проекцией прямой следовательно, угол — искомый.

где — центр основания, значит, — средняя линия треугольника поэтому Тогда и Из прямоугольного треугольника находим:

Из прямоугольного треугольника находим:

Значит, искомый угол равен Ответ:

17. Задание 17 № 484592. Решите неравенство .

Решение. Выполним преобразования:

.Сделаем замену: .Получим: , откуда .

Решая это неравенство, находим: или .Если , то или .

Если , то или . Ответ: .

18. Задание 18 № 501712. Окружности радиусов 11 и 21 с центрами и соответственно касаются внешним образом в точке и — параллельные радиусы этих окружностей, причём Найдите

Решение.

Точки и C лежат на одной прямой.

Возможны два случая. Первый случай: точки A и B лежат по одну сторону от прямой O₁O₂ (рис. 1). Отрезок AM параллелен прямой O₁O₂ (точкаM принадлежит радиусу BO₂), следовательно, O₁O₂AM — параллелограмм:AM = O₁O₂ = 32, O₁A = O₂M = 11, ∠O₂MA = ∠AO₁O₂ = 60°.

В треугольнике AMB имеем MB = 10, AM = 32, ∠AMB = 120°, откуда

Второй случай: точки A и B лежат по разные стороны от отрезку O₁O₂(рис. 1). Отрезок AM параллелен прямой O₁O₂ (точка M лежит на продолжении радиуса BO₂ за точку O₂), следовательно, O₁O₂MA — параллелограмм:AM = O₁O₂ = 32, O₁A = O₂M = 11, ∠O₂MA = ∠AO₁O₂ = 60°.

В треугольнике AMB имеем MB = 32, AM = 32, ∠AMB = 60°, значит, треугольник AMB — правильный, откуда AB = 32. Ответ: 32 или 38.

19. Задание 19 № 506956. Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

Решение. Первый способ (близкий к арифметическому решению).

Пусть первый брокер купил акций, а второй — акций. Тогда первый продал акций, второй — акций.

То, что сумма от продажи акций, полученных вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером, означает: сумма, полученная вторым брокером, больше суммы, полученной первым, в 2,4 раза:

Так как цена одной акции у обоих брокеров одинакова, а полученные суммы прямо пропорциональны количеству акций, проданных каждым брокером, то

Если — коэффициент пропорциональности количества акций, купленных брокерами, то ими приобретено акций на сумму 3640 р. Следовательно, на тот момент цена каждой акции составляла:

р. Первый брокер продал акций, второй акций. Всего было продано акций. К моменту продажи цена одной акции стала

(р), т.е. на (р) выше. Значит, цена одной акции возросла на 37,5%

Второй способ (преобладает алгебраический подход).

Пусть р. — первоначальная цена одной акции, — количество акций, купленных первым брокером, — количество акций, купленных вторым брокером. И пусть цена одной акции возросла на %. Тогда: (1). Со временем цена одной акции выросла до рублей.

Первый брокер продал акций на сумму рублей, а второй брокер — на рублей.

Согласно условию задачи имеем: т.е.

(2)

Так как сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером, то

Подставив полученное значение в уравнение (1), будем иметь:

Подставим то же значение в уравнение (2):

А значение нами найдено выше. Следовательно,

Ответ: 37,5.

20. Задание 20 № 484650. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

Решение.

Если , то уравнение задаёт окружность , с центром в точке радиуса 2, а если , то оно задаёт окружность с центром в точке того же радиуса (см. рис.).

При положительных значениях параметра а уравнение задает окружность с центром в точке радиуса а. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра а, при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и .

Из точки С проведём луч и обозначим и точки его пересечения с окружностью , где лежит между С и .

Так как , то , .

При или окружности и не пересекаются. При окружности и имеют две общие точки. При или окружности и касаются.

Из точки С проведём луч и обозначим и точки его пересечения с окружностью , где лежит между С и .Так как , то , .

При или окружности и не пересекаются. При окружности и имеют две общие точки. При или окружности и касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и , и не пересекается с другой. Так как , то условию задачи удовлетворяют только числа и .