Задача № 2. Решить задачи линейного программирования симплекс-методом

Задача: Найти значения переменных x₁...x₂, при которых функция:

Q =

12

x1

+

10

x2

принимает минимальное значение, при условии следующих ограничений :

	2	x1	+	12	x2	≥		20		(1)
	4	x1	+	6	x2	≥		32		(2)
	3	x1				≥		14		(3)
				18	x2	≥		42		(4)

x₁, x₂ ≥ 0

Шаг:1 Избавимся от неравенств в ограничениях, введя в ограничения 1, 2, 3, 4 неотрицательные балансовые переменные s₁, s₂, s₃, s₄.

	2	x1	+	12	x2	-		s1										=		20		(1)
	4	x1	+	6	x2				-		s2							=		32		(2)
	3	x1										-		s3				=		14		(3)
				18	x2										-		s4	=		42		(4)

x₁, x₂, s₁, s₂, s₃, s₄ ≥ 0 Шаг:2 Ищем в системе ограничений базисные переменные. Базисные переменные в исходной задаче отсутствуют, это значит, что исходная задача не содержит в себе допустимого базисного решения. Для его нахождения вначале составим и решим вспомогательную задачу. Введем по одной искусственной неотрицательной переменной r_i в каждое уравнение системы ограничений. Получим следующую систему ограничений,

	2	x1	+	12	x2	-		s1										+		r1										=		20		(1)
	4	x1	+	6	x2				-		s2										+		r2							=		32		(2)
	3	x1										-		s3										+		r3				=		14		(3)
				18	x2										-		s4										+		r4	=		42		(4)

x₁, x₂, s₁, s₂, s₃, s₄, r₁, r₂, r₃, r₄ ≥ 0 с базисными переменными r₁,r₂,r₃,r₄.

Целью решения вспомогательной задачи является получение допустимого базисного решения не содержащего искусственных переменных (r₁,r₂,r₃,r₄). Для этого сформируем вспомогательную целевую функцию :

G =

r1

+

r2

+

r3

+

r4

и проведем ее минимизацию в заданной системе ограничений. Если после минимизации функции G ее оптимальное значение будет равно нулю и все искусственные переменные окажутся выведенными из базиса, то полученное базисное решение есть допустимое базисное решение исходной задачи. Если же после минимизации функции G ее оптимальное значение окажется отличным от нуля, значит исходная система ограничений противоречива (область допустимых решений пуста) и исходная задача решения не имеет. Для решения вспомогательной задачи симплекс методом выразим функцию G через свободные переменные, для этого:    - вычтем из функции G уравнение 1    - вычтем из функции G уравнение 2    - вычтем из функции G уравнение 3    - вычтем из функции G уравнение 4  Функция G примет вид : 

G =

-

9

x1

-

36

x2

+

s1

+

s2

+

s3

+

s4

+

108

Теперь мы можем сформировать начальную симплекс-таблицу. Шаг:3 Начальная симплекс-таблица

БП	x1	x2	s1	s2	s3	s4	r1	r2	r3	r4	Решение	Отношение
r1	2	12	-1	0	0	0	1	0	0	0	20	20 / 12 = 5 3
r2	4	6	0	-1	0	0	0	1	0	0	32	32 / 6 = 16 3
r3	3	0	0	0	-1	0	0	0	1	0	14	--
r4	0	18	0	0	0	-1	0	0	0	1	42	42 / 18 = 7 3
Q	12	10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	--
G	-9	-36	1	1	1	1	0	0	0	0	-108	--

Итерация 1

БП	x1	x2	s1	s2	s3	s4	r2	r3	r4	Решение	Отношение
x2	1 6	1	-1 12	0	0	0	0	0	0	5 3	5 3 / 1 6 = 10
r2	3	0	1 2	-1	0	0	1	0	0	22	22 / 3 = 22 3
r3	3	0	0	0	-1	0	0	1	0	14	14 / 3 = 14 3
r4	-3	0	3 2	0	0	-1	0	0	1	12	--
Q	31 3	0	5 6	0	0	0	0	0	0	-50 3	--
G	-3	0	-2	1	1	1	0	0	0	-48	--

Итерация 2

БП	x1	x2	s1	s2	s3	s4	r2	r4	Решение	Отношение
x2	0	1	-1 12	0	1 18	0	0	0	8 9	--
r2	0	0	1 2	-1	1	0	1	0	8	8 / 1 2 = 16
x1	1	0	0	0	-1 3	0	0	0	14 3	--
r4	0	0	3 2	0	-1	-1	0	1	26	26 / 3 2 = 52 3
Q	0	0	5 6	0	31 9	0	0	0	-584 9	--
G	0	0	-2	1	0	1	0	0	-34	--

Итерация 3

БП	x1	x2	s1	s2	s3	s4	r4	Решение	Отношение
x2	0	1	0	-1 6	2 9	0	0	20 9	--
s1	0	0	1	-2	2	0	0	16	--
x1	1	0	0	0	-1 3	0	0	14 3	--
r4	0	0	0	3	-4	-1	1	2	2 / 3 = 2 3
Q	0	0	0	5 3	16 9	0	0	-704 9	--
G	0	0	0	-3	4	1	0	-2	--

Итерация 3-a

БП	x1	x2	s1	s2	s3	s4	Решение	Отношение
x2	0	1	0	0	0	-1 18	7 3	--
s1	0	0	1	0	-2 3	-2 3	52 3	--
x1	1	0	0	0	-1 3	0	14 3	--
s2	0	0	0	1	-4 3	-1 3	2 3	--
Q	0	0	0	0	4	5 9	-238 3	--
G	0	0	0	0	0	0	0	--

Получено оптимальное решение вспомогательной задачи (найден минимум функции G т.к. в строке целевой функции нет отрицательных коэффициентов). Все искусственные переменные вышли из базиса и поэтому мы можем приступить к решению исходной задачи, приняв полученное базисное решение в качестве опорного. Сторка "G" нам больше не нужна, принятие решения о направляющем столбце, во всех последующих итерациях, будем принимать по строке "Q" Итерация 4

БП	x1	x2	s1	s2	s3	s4	Решение	Отношение
x2	0	1	0	0	0	-1 18	7 3	--
s1	0	0	1	0	-2 3	-2 3	52 3	--
x1	1	0	0	0	-1 3	0	14 3	--
s2	0	0	0	1	-4 3	-1 3	2 3	--
Q	0	0	0	0	4	5 9	-238 3	--

Достигнуто оптимальное решение, т.к. в строке целевой функции нет отрицательных коэффициентов. Ответ:

Оптимальное значение функции Q(x)=

238 3

достигается в точке с координатами:

x1=	14 3
x2=	7 3
s1=	52 3
s2=	2 3
s3=	0
s4=	0

Задача № 3. Пример решения задачи линейного программирования (задача с искусственным базисом, обыкновенные дроби) табличным симплекс-методом

Для упрощения процесса решения исходные данные задачи линейного программирования при решении ее симплекс методом записываются в специальные симплекс-таблицы. Поэтому одна из модификаций симплекс метода получила название табличный симплекс метод. Задача линейного программирования в каноническом виде:

F=a_0,1x₁+a_0,2x₂+...a_0,nx_n +b₀ → max

a_1,1x₁+a_1,2x₂+...a_1,nx_n + x_n+1=b₁

a_2,1x₁+a_2,2x₂+...a_2,nx_n +x_n+2 =b₂

.......................................

a_m,1x₁+a_m,2x₂+...a_m,nx_n+x_n+m=b_m

Исходная таблица для задачи имеет следующий вид:

	x1	x2	...	xn-1	xn	b
F	-a0,1	-a0,2	...	-a0,n-1	-a0,n	-b0
xn+1	a1,1	a1,2	...	a1,n-1	a1,n	b1
xn+2	a2,1	a2,2	...	a2,n-1	a2,n	b2
...	...	...	...	...	...	...
xn+m	am,1	am,2	...	am,n-1	am,n	bm

x₁, x₂, x_n - исходные переменные, x_n+1, x_n+2, x_n+m - дополнительные переменные. Все дополнительные переменные мы приняли как базисные, а исходные переменные как небазисные (дополнительные записаны в первый столбец симплекс-таблицы а исходные в первую строку). При каждой итерации элементы симплекс-таблицы пересчитывают по определенным правилам.