2.3 Операции с логическими рядами

Рассмотрим множество всех логических рядов, обозначив отдельный ряд буквами А, В, С…

Назовем операцией над логическим рядом правило образования нового логического ряда, через преобразование каждого значения старого логического ряда.

Операции могут быть унарными – над одним рядом и бинарные – с двумя рядами.

Рассмотрим множество классических рядов и зададим на нем логику классических рядов (ЛКР) в виде набора унарных и бинарных операций.

Зададим бинарные операции по аналогии с классической логикой высказываний – конъюнкцию &, дизъюнкцию \/, импликацию ®, тождество º.

Например, А&B означает, что результатом этой операции является логический ряд, образованный конъюнкцией логических значений рядов А и В с одинаковыми номерами итераций. То есть, начальным условием этого ряда будет конъюнкция начальных условий А и В, значением при i=1 будет конъюнкция значений А и В при i=1 - и так далее до бесконечности.

Зададим три унарные операции – отрицание, обозначаемое знаком Ø, левый сдвиг на n значений – ln, правый сдвиг на n значений – rn.

Левый сдвиг на n значений – ln, операция, в результате которой получается новый ряд, образованный сдвигом всех значений старого ряда на n значений влево.

То есть i-тое значение преобразуется в i-1 значение. Если значение i-n определить невозможно (i-n – отрицательное число), то оно отбрасывается, и ряд пишется с i-n значения.

Правый сдвиг на n значений – rn, операция, в результате которой получается новый ряд, образованный сдвигом всех значений старого ряда на n значений влево.

То есть i-тое значение преобразуется в i-1 значение.

Законом ЛКР будем называть ряд с аттрактором первого рода – И.

То есть, множество детерминированных аттракторов ЛКР состоит из одного аттрактора – значения И.

Частным случаем закона является получившийся в результате некоторой операции И-вырожденный ряд (ИВ).

Формализм ЛКР:

А, В, С… – классические логические ряды, ИВ, ЛВ, ЛРЛ, ИРЛ – их частные случаи.

Операции: &, \/, ®, º, Ø, ln, rn, где n меняется от 0 до бесконечности.

Технические символы: ), (,

Если А, В – классические логические ряды, то А&В, А\/В, А®В, АºВ, ØА, lnА, rnА - тоже классические логические ряды, где n константа – целое число, которое может меняться от 1 до бесконечности.

Теорема 1 ЛКР:

Законы классической логики высказываний имеют аналоги (так же записанные ряды и операции) в ЛКР.

Доказательство следует из того, что все высказывания ЛКР, составляющие ряды - ai "подчиняются" законам классической логики – по определению ЛКР.

Вот некоторые аналоги законов.

АºА – закон тождества,

ØØА º А – двойного отрицания.

В ЛКР есть специфические законы. Например:

ØЛВ – закон отрицания Л-вырожденного ряда,

ЛРЛ\/ИРЛ – закон "аннигиляции" двух разных рядов лжеца.

А\/ИВ – закон дизъюнкции с истинно-вырожденным рядом.

Ø(A&ЛВ) – закон отрицания конъюнкции ЛВ ряда,

l1ЛРЛºИРЛ – закон сдвига ряда лжеца,

или в общем случае: lnЛРЛºИРЛ где n – нечетное число.

Введем обозначения для различных логик. Модификации ЛКР, связанные с изменением числа операций будем обозначать ЛКР1, ЛКР2 и так далее.

Логику рейхенбаховских рядов зададим по аналогии с операциями, введенными на высказываниях с тремя значениями Рейхенбахом и обозначить ее модификации соответственно ЛРР1, ЛРР2 и так далее.

Логики, состоящие из k значений, где k – целое число от 4 до бесконечности обозначим как ЛkР1, ЛkP2 и так далее.

Например, для четырехзначных логических рядов можно задать логики Л4Р1, Л4Р2, Л4Р3 и так далее.