1.6 Парадоксы как фракталы. Фрактальная логика: обратная связь как модель "монстров" и парадоксов.
Мандельброт проанализировал "монстров" с точки зрения представлений фрактальной геометрии, показав общность между монстрами, природными объектами и множествами Жюлиа и Мандельброта.
Так же как и эти объекты, "монстры" обладают фрактальной размерностью и демонстрируют самоподобие.
Наиболее ярко понятие самоподобия иллюстрируется с помощью рассмотренной нами ранее фигуры Коха. Действительно, при увеличении ее фрагмента с помощью геометрического преобразования подобия можно получить фигуру тождественную той, чей фрагмент мы увеличивали.
Так же, как и для береговой линии, для кривой Коха или треугольника Серпинского можно вводить разного рода размерности.
В частности, “степень убегания” (1-D) длины (L) фигуры Коха в зависимости от единичной длины звена (d) оценивается по следующей формуле:
L (d) µ d1-D,
где D = ln4/ln3 » 1.2628... - предложенная Мандельбротом степенная характеристика “убегания длины” или фрактальная размерность (по определению) триадной кривой Коха - мера изрезанности этой кривой”.
Итак, Мандельброт превратил "монстров" из "пугал", за которыми надо было охотиться с целями исключения из "нормальных" геометрических рассуждений в концептуально оформленные геометрией предметы измерения и построения.
Этот же мыслительный ход можно осуществить и по отношению к парадоксам.
Действуя по аналогии, можно предположить, что парадоксы есть частные случаи логических фракталов, которыми должна оперировать фрактальная логика.
Мы сознательно не будем жестко определять термины "логический фрактал" и "фрактальная логика", постепенно вводя представления о частных случаях логических фракталов и соответствующих логик. Пока ограничимся представлением о том, что фрактальная логика – это набор понятий и представлений, основанных на принципах фрактальной геометрии, применяемых к логическим объектам с бесконечным количеством значений.
Фрактальная геометрия оперирует парадоксальными геометрическими предметами, результаты измерения которых (длина, площадь, объем) устремляются к бесконечности. В качестве начальной (а потому неточной) метафоры можно сказать, что фрактальная логика оперирует парадоксальными логическими объектами, число логических значений которых также стремится к бесконечности.
Фрактальная логика превращает бесконечный парадокс из «монстра» и «пугала» в концептуальный предмет формального, инструментального и социокультурного рассмотрения.
Для того, чтобы сделать термины "логический фрактал" и "фрактальная логика" не только метафорами, но и понятиями оформленной и формализованной логической концепции, рассмотрим понятие обратной связи.
Интерпретация построения “монстров” – фракталов через обратную связь содержится в книге Пайтгена, Юргенса и Заупе “Хаос и фракталы: новые горизонты науки”16.
Российский математик Александр Зенкин17 интерпретировал парадокс лжеца как процесс с обратной связью.
В свое время Алан Тьюринг предложил свой знаменитый мысленный эксперимент – машину Тьюринга, и выдвинул тезис о том, что любая вычислимая (частично рекурсивная – имеющая завершение) функция может быть запрограммирована (вычислена с помощью конечного алгоритма) на машине Тьюринга. Интеллект человека, по мнению Тьюринга, устроен похожим образом, поэтому машина в принципе может мыслить.
Машину Тьюринга можно интерпретировать в терминах отрицательной обратной связи – вычислительные процедуры за конечное число шагов сходятся к нужному значению функции.
Рис. 1.6.1 Алан Матисон Тьюринг (1912-1954)
Автор оригинальных трудов по математической логике, вычислительной математике, искусственному интеллекту. В годы второй мировой войны, будучи в Англии, успешно работал над дешифровкой сообщений нацистского командования.
Для систематизации и сравнения процедур генерации “монстров” и парадоксов, мы рассмотрим нечто подобное: мысленный эксперимент - машину логической обратной связи, схема которой представлена ниже.
блок
управления
входной
блок блок обработки
выходной блок
линия обратной связи
Рис 1.6.2 Машина обратной связи.
Машина состоит из трех блоков памяти: входного блока (ВХБ), выходного блока (ВБ), блока управления (БУ) и одного процессорного блока обработки (БО), связанных между собой связями. Блок управления нужен для “запуска” машины.
Общая схема работы состоит из двух циклов – цикла запуска машины и рабочего цикла:
Цикл запуска:
Ввод информации в блок управления
Ввод информации во входной блок
Пересылка информации из блока управления в блок обработки
Рабочий цикл:
Пересылка информации из входного блока и ввод ее в блок обработки
Работа блока обработки
Пересылка информации из блока обработки в выходной блок
Пересылка информации из выходного блока во входной блок.
В качестве примера работы логической машины с обратной связью, приведем рассмотренный выше пример генерации кривой Коха:
Цикл запуска – в блок управления вводится “затравка” – единичный отрезок. Это нулевая итерация нашей фигуры – i=0.
Запускается рабочий цикл: затравка преобразуется в блоке обработки в первое поколение фигуры - отрезок делится на три равные части, средняя часть отбрасывается, а на ее месте строится ломаная, являющаяся фрагментом равностороннего треугольника со стороной, равной, одной третьей длины отрезка. Это первая итерация нашей фигуры – i=1.
Полученное первое поколение “отправляется” на выходной блок,
Обратная связь переносит первое поколение на вход.
После этого по тому же алгоритму, примененному для отдельному отрезку звеньев ломаной, первое поколение преобразуется во второе поколение в рабочем блоке: i=2.
Получающийся “монстр” – результат бесконечного числа циклов работы машины при i®¥.
В устремлении процедуры на бесконечность состоит главное отличие нашей машины от машины Тьюринга. Построение фракталов всегда осуществляется не на конечном, а на бесконечном числе итераций.
Теперь интерпретируем с помощью обратной связи парадокс лжеца.
Рассмотрим высказывание А, соответствующее суждению “Я лгу”.
Пусть оно будет истинным. С точки зрения обратной связи это означает, что на нулевой итерации при i=0, значение А равно И.
Далее, нам надо интерпретировать парадоксальное умозаключение “Значение А истинно, значит, А ложно” как обратную связь – процедуру, присваивающую новое значение высказыванию А при изменении счетчика итераций.
Обратная связь меняет значение А при i=1 на Л. Таким же образом, при i=2 значение А равно И, при i=3, опять Л – и так далее.
Таким образом, цикл запуска будет следующим:
Ввод информации в блок управления – установление i=0,.
Ввод информации во входной блок - значение А есть И
Пересылка информации из блока управления в блок обработки
Рабочий цикл:
Пересылка информации из входного блока и ввод ее в блок обработки
Работа блока обработки – смена значения А на противоположное (с И на Л или с Л на И), увеличение значения счетчика итераций на единицу,
Пересылка информации из блока обработки в выходной блок.
Пересылка информации из выходного блока во входной блок.
Построим таблицу истинности высказывания А в зависимости от итераций - различных i:
i = 0 |
i = 1 |
i = 2 |
i = 3 |
i = 4 |
I = 5 |
i = 6 |
i = 7 |
i = 8 |
… |
И |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
И |
… |
Таблица 1.6.1 Таблица истинности парадокса лжеца
Парадокс – это результат бесконечного изменения логического значения машиной обратной связи.
Таким образом, математический “монстр” и логический парадокс лжеца могут быть представлены как результат бесконечного числа итераций машины обратной связи.
На основании этой общности мы будем постепенно вводить представление о логических фракталах.