1.3 “Монстры” и парадоксы – неслучайные совпадения.
Сопоставив историю исследований геометрических “монстров” и логических парадоксов, можно увидеть ряд удивительных совпадений.
Совпадения исторические.
Если начинать отсчет с мифических времен, то первым известным нам местом встречи монстров и парадоксов будет остров Крит.
"Все критяне лжецы" – сказал один критянин" – формулировка древнейшего парадокса.
Лжецы критяне, еще и потому, что якобы у них был выстроен лабиринт – топологический аналог геометрического "монстра" и дом мифического монстра Минотавра – чудовища с головой быка и туловищем человека. Минотавр живет в архитектурном «монстре». Первооткрывателем (или первостроителем) этого геометрического – архитектурного "монстра" следует признать Дедала – строителя лабиринта.
Случайно или нет совпадение места лабиринта и места рождения парадокса лжеца? Сказать сложно. Лично меня это совпадение удивляет и поражает. Когда совмещаешь эти вещи, то охватывает ощущение резонанса, соприкосновения с какой-то тайной зашифрованной в этом совпадении. Может быть, тайной рождения европейской культуры и цивилизации, европейского "линейного" мышления из "нелинейного" мифа. Я вернусь к этой теме в конце книги.
Рис 1.3.1 Минотавр – монстр с головой быка
Рис 1.3.2 Монета с острова Крит с изображением лабиринта – метафоры геометрического «монстра»
Мысленно перенесемся в другую эпоху и возьмем в качестве отправной точки 1903 год. В этом году Бертран Рассел пишет письмо Готлобу Фреге, впервые описывающее его знаменитый парадокс. Именно в этом году шведский математик Хельге фон Кох строит свои кривые и публикует их в следующем – 1904 году.
За тринадцать лет до этого Давид Гильберт в Кенигсберге исследует и обращает внимание научного сообщества на очередного “монстра” - кривую, построенную в 80 годах XIX века итальянским математиком и логиком Джузеппе Пеано. Приблизительно в это же время – в начале 90 годов, Георг Кантор исследует парадоксы в определении понятия “мощность множества”.
В 1912 году - через девять лет после 1903 года, поляк Вацлав Серпинский пополняет “монструарий” новыми фигурами - своими “салфетками” и треугольниками. На время перед первой мировой войной приходится расцвет полемики вокруг теоретико-множественных парадоксов в сообществе логиков.
В двадцатых-тридцатых годах ХХ века русский инженер адмирал А. Крылов применил функции без производных для моделирования процесса колебаний корабля: "монстры" постепенно стали приобретать физический смысл.
Рис 1.3.3 Нильс Фабиан Хельге фон Кох
Niels Fabian Helge von Koch
(1870 – 1924)
Шведский математик, работами которого иллюстрируются практически все книги по фрактальной геометрии. Возможно, что основой для этих работ послужили представления Давида Гильберта, к школе которого принадлежал фон Кох.
Рис 1.3.4 Фрагмент публикации Х. Коха "Une mйthode gйomйtrique йlйmentaire pour l'йtude de certaines questions de la thйorie des courbes planes", Acta Mathematica 30 (1906 г.),145-174
1.3.5 Давид Гильберт (1862 – 1943)
Великий немецкий математик, оставивший крупный вклад в теории инвариантов, основаниях геометрии, в логических основаниях математики. Его исследования "монстров" тесно переплетались с поисками непротиворечивых оснований геометрии.
1.3.6 Публикация Д. Гильберта (1890), анализирующая работы Пеано
1.3.7 Вацлав Францижек Серпинский (1882 - 1969)
Основные труды Вацлава Серпинского связаны с теорией множеств и ее приложением к топологии. Кроме этого, на русском языке известны работы Серпинского по теории чисел и арифметике.
1.3.8 Построение треугольника Серпинского
Рис. 1.3.9 Алексей Николаевич Крылов (1863-1945)
Всемирно известный кораблестроитель. Разработал схемы расчетов основных характеристик корабля – остойчивости и плавучести. Создал теорию килевой качки, заложил основы строительной механики, динамики и вибрации кораблей.
Совпадения биографические.
Георг Кантор – пример математика и логика, который в своем творчестве обращался как к анализу парадоксов, так и к построению и исследованию “монстров” причем на одном и том же примере. В 1883 году Кантор публикует свою работу “Ьber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten”, в котором демонстрирует пример построения “монстра” – множества точек, называемого сейчас множеством Кантора. Это множество образовано в результате бесконечного итерационного процесса, похожего на процесс построения кривой Коха (рис. 1.3.11). Кантор последовательно отбрасывал из отрезка единичной длины сначала среднюю часть, а потом средние части всех оставшихся фрагментов. Проделав эту процедуру бесконечное число раз, великий логик рассмотрел свойства получившегося множества точек – так называемой канторовой пыли. Кантор показал, парадоксальность этого “монстра”. Мощность получившегося множества точек оказалась равной мощности множества точек на отрезке.
В этом примере встретились парадокс и “монстр” – “монстр” оказался иллюстрацией парадоксального понятия мощности множества, воплощением непонятной бесконечности. Кантор пытается понять бесконечность и строит концепцию для ее описания.
Рис.1.3.10 Георг Фердинанд Кантор (1845-1918)
По выражению Гильберта, развив теорию множеств, Кантор построил рай для математиков. Первым ввел в математику понятие актуальной бесконечности, сопоставив ей математические объекты – трансфинитные числа. Построил теорию трансфинитных чисел, связав ее с теорией множеств. Ввел понятия мощности множества и подобия множеств.
Рис. 1.3.11 Построение канторовой пыли
Рис 1.3.12 Первая страница работы Кантора “Ьber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten” (1883)
Не случайным, с точки зрения изучения биографических совпадений, оказывается увлечение логикой Бернарда Больцано. В 1837 году Больцано пишет книгу "Попытка нового понимания логики", в которой он попытался ввести новую неформализованную "Про-Лейбницевскую" логику.
Попытки поиска оснований логики предпринимал и Джузеппе Пеано – автор кривой Пеано, исследовавший в 80-90 годах XIX века понятия числа. Пеано интересовался рекурсивными схемами – процедурами, с помощью которых можно определить понятие числа.
Работы Пеано оказали влияние на Бертрана Рассела, его взгляды периода "Принципов математики".
Рис.1.3.13 Процедура построения кривой Пеано
Рис. 1.3.14 Джузеппе Пеано
(1858-1932)
Занимался проблемами основания математики и математического анализа, ввел в оборот аксиоматику натурального ряда чисел.
Совпадения социальные.
И “монстры” и парадоксы – это контрпримеры, противоречащие существующим на данный момент парадигмам в сообществе ученых, частные случаи, разрушающие хорошо выстроенные научные представления.
Есть совпадения в отношении научного сообщества к “монстрам” и парадоксам. Удивление, испуг, растерянность, заменялись запретами на их применение и попытками создать новую теорию, свободную от “монстров” и парадоксов – описать логически корректные и непротиворечивые основания математики.
Этот процесс был проанализирован Имре Лакатосом в его книге «Доказательства и опровержения». Лакатос назвал его “monster barring” - процессом “исключения монстров” - как некоторой позитивистской программы ухода от парадоксальности при исследовании геометрических и логико-математических объектов, построенных путем бесконечных рекуррентных процедур.
Книга «Принципы математики» Б. Рассела и А. Уайтхеда с этой точки зрения предстает как попытка исключения монстров, попытка найти непротиворечивые первые принципы, основания математики, свободные от рекурсий и бесконечных кругов, заселяющих логику "монстрами". Попытка, на взгляд Лакатоса, неудачная3.
Совпадения операциональные: дискретность процедур.
Построение “монстров” и парадоксов можно представить как набор дискретных операций-алгоритмов, напоминающих рецепт. Сначала договариваются о каких-то правилах игры, а потом описываются конечные мыслительные или геометрические операции, исполнение которых приводит к тому, что появляется “монстр” или парадокс.
Совпадения самодостраивания и цикличности.
И “монстры” и парадоксы есть результат применения процедур к одному и тому же объекту и изменений этого объекта, исходя из состояния этого объекта. Парадокс – это самореферентное суждение, суждение о суждении. «Монстр» - самореферентная рекуррентная процедура.
В случае с парадоксами суждение начинает бегать по кругу – от “Высказывание истинно, значит оно ложно” к “Высказывание ложно, значит, оно истинно”. Мысль зацикливается и не может остановиться. При этом, суждение пытается обосновать себя самого – объектом анализа суждения становится само суждение, рождается новое значение, разрушающее присутствие старого значения. Это и есть “самодостраивание”: зацикливаясь, мыслительная процедура, выстраивает сама себя и рождает парадокс.
Аналогичный процесс запускается и при построении “монстров”. Фигуры Коха, Пеано или Серпинского не есть выстроенные объекты, а есть процессы самодостраивания – процессы бесконечных изменений одного и того же объекта.
“Монстр” есть выстраивание - циклический, постоянно возвращающийся процесс изменения. Если процесс итераций остановить, то “монстр” тут же превратится в обычную ломаную линию с конечным количеством особых точек.
Совпадения бесконечности.
Суждение, попав в логический круг, начинает вертеться в нем – значения не фиксируется, и меняется бесконечное число раз по циклу: “Суждение истинно значит ложно, суждение ложно значит истинно”.
Так же, до бесконечности, продолжается построение “монстра”.
Бесконечность присутствует как в изменении значений парадоксального высказывания, так и в итерациях “монстров”.
Бесконечность сводит с ума борцов с монстрами, являясь символом нелогичности и иррациональности.
Концептуальные совпадения
Есть несколько научных и философских концепций, обращающихся одновременно и к математическим монстрам, и к логическим парадоксам.
Во-первых, это теория хаоса и концепция сложности (complexity), синергетическая парадигма, которые приводят парадоксы в качестве результата "линейного" мышления. «Монстры» в этих концепциях - формы нового, "нелинейного" мира.
Во-вторых, это концепция автопоэзиса, бурно развиваемая сейчас философами, биологами и социологами, основателями которой считаются чилийские биологи и эпистемологи Умберто Матурана и Франциско Варела4. Франциско Варела в своих работах приводил монстры и парадоксы в качестве моделей саморазвивающихся, самодостраивающихся автопоэтических систем5.
Многие статьи У. Матураны и Ф. Варелы присутствуют в ИНТЕРНЕТ. В качестве отправной точки можно сходить на сервер www.synergetic.ru, где присутствуют обзоры и библиография работ.
Наша задача состоит в том, чтобы выстроить совпадения математических "монстров" и логических парадоксов на концептуальном поле фрактальной геометрии.
Рис 1.3.15 Иллюстрация бесконечного самодостраивания и цикличности: метафора автопоэзиса. М. Эшер. Руки.
Рис. 1.3.17 Франциско Варела (1946 -2001)
Ученик У. Матураны, развивший в своих работах оригинальное направление в системных исследованиях, связанное с анализом автономии и самовоспроизводства познающих систем.
Рис.1.3.16 Умберто Матурана
(род. 1928)
Чилийский нейрофизиолог, один из ярких представителей современной эволюционной эпистемологии или «биологии познания», анализирующий биологические корни человеческого мышления.