2.8 Количественные характеристики логического фрактала

2.8.1 Энтропия и кортежная размерность

Для оценки сложности и скорости устремления количества масштабных кортежей ряда к бесконечности введем соответственно понятия энтропии и кортежной размерности логического ряда.

Мы уже знаем, что на масштабе с разрешением n в k-значной логике возможно К= kⁿ различных кортежей.

Количество различных кортежей – это сложность ряда. Так как степенная зависимость велика для количественной оценки, введем, по аналогии с термодинамической энтропией, определение возможной энтропии логического ряда на заданном масштабе (W):

W = log_k K, (2.8.1.1)

Подставляя значение К, получаем: W = n log_k k = n.

При увеличении разрешения масштаба, возможная энтропия логического ряда линейно увеличивается.

Однако логические фракталы демонстрируют гораздо меньшее разнообразие кортежей. Мало того, количество различных кортежей часто оказывается независимым от масштаба.

В качестве примера можно привести ЛРЛ и ИРЛ которые демонстрируют либо один, либо два различных кортежа на всех масштабах.

Ситуация удивительно напоминает ситуацию с природными структурами – вместо комбинирования новых и новых возможных структур-кортежей, природа "ленится" создавать новые структуры на новых масштабах. Например, вихревые структуры встречаются как на микро-масштабах (атомные и молекулярные структуры) мезо-масштабах (турбулентность воды или облаков) так и на мега-масштабах (спиральные галактики). Возможно, эта природная "лень" по производству новых форм лежит в основе самоподобия природных фракталов.

Такая "лень" присуща и знаковым системам – системам из слов конечной длины. Из-за того, что в системах реализуются не все возможные, а только ограниченные слова, в них образуется информация, в противовес энтропии всех возможных состояний.

Илья Пригожин и Грегуар Николис²⁰ сравнили марковский процесс и хаотический процесс типа аттрактора Рёсслера с точки зрения вероятности наличия тех или иных последовательностей состояний. Их результаты можно интерпретировать как исследование логического ряда на предмет наличия тех или иных кортежей.

Напомним, что марковским называется процесс с дискретным временем у которого есть марковское свойство – свойство отсутствия последствий: состояние системы в настоящий момент премени t₀ однозначно определяет распределение вероятностей будущего развития при t>t₀ и информация о прошлом поведении процесса до момента t₀ не влияет на это распределение.

Логический ряд можно представить как марковский процесс, если марковским свойством будет обладать вероятность появления логического значения на некоторой итерации.

Николис и Пригожин рассмотрели марковский процесс, удовлетворяющий закону больших чисел и оценили число кортежей, превышающих некоторую заданную вероятность.

На примере создания биополимера, авторы рассмотрели случай, когда все кортежи аминокислот равновероятны. Они к выводу о том, что описание возникновения структуры биополимера неадекватно с точки зрения гипотезы равновероятности возникновения последовательностей аминокислот с фиксированной длиной. Всегда существуют выделенные последовательности аминокислот, формирующих биополимер.

Этот пример является дополнительной иллюстрацией "лени" природы, отбирающей из всех возможных комбинаций только ограниченное количество возможностей.

Рис 2.8.1 Илья Романович Пригожин (род. 1917) – бельгийский химик русского происхождения, лауреат Нобелевской премии по химии (1977 г.) за исследование диссипативных структур, образующихся в открытых системах.

Николис и Пригожин рассмотрели аттрактор Рёсслера как хаотическую последовательность нахождения системы в трех состояниях X,Y, Z:

ZYXZXYXZXYXZYXZXYXZYXZYXZXZYXZYXZXYXZYX…

Далее они переписали эту последовательность c помощью гиперсимоволов (кортежей) - a = ZYX, b = ZXYX, g=ZX:

abbabaagaaba…

Далее авторы посчитали условные вероятности возникновения последовательностей (кортежей) с различной длиной на различных масштабах и показали, что появление кортежей не равновероятно. Это позволяет говорить о неслучайности процедуры, генерирующей рассматриваемый процесс.

Только на масштабе с разрешением пять аттрактор Рёсслера можно схематизировать марковским процессом.

Анализируя последовательность, генерируемую странным аттрактором, Николис и Пригожин замечают:

"При ближайшем рассмотрении статистических характеристик таких последовательностей выясняются некоторые удивительные особенности. Например, из всех возможных 3⁷ последовательностей семисимвольной длины, которые можно построить на X, Y, Z, в динамике реализуются только 21. Более того, примерно для половины из них условная вероятность некоторого символа при условии, что заданы пять предыдущих символов, оказывается равной единице. Следовательно, всё выглядит так, как если бы в систему были встроены "грамматические правила", автоматически выполняемые в результате динамики."²¹

Для оценки только тех кортежей, которые реализовались в данном ряде на данном масштабе j, введем представление о масштабных кортежах (МC_j). Для ЛРЛ и ИРЛ MC_j=2 при нечетных j и МC_j=1 на четных масштабах.

Реализованные кортежи являются информационной характеристикой логического ряда, описывая возникшую структуру.

Можно представить информацию через вероятность появления кортежа в ряде. Если в ряде присутствуют все возможные на масштабе кортежи, то информация в таком ряде равна нулю, а энтропия максимальна.

Введем определение масштабной информации IМj:

IМ_j = Р (МC_j) log_k Р(МC_j) (2.8.1.2)

Р (МC_j) – вероятность возникновения масштабных кортежей, которую можно оценить через отношение числа реализовавшихся масштабных кортежей за s итераций к числу всех возможных кортежей на этом масштабе. Ясно, что s должно быть достаточно большим.

Информация может меняться в зависимости от масштаба рассмотрения – например, у ИРЛ на масштабе 1 информация равна 0, а на других масштабах – нет.

Дадим определение накопленной на f масштабах информации IS:

IS= IМ_j (2.8.1.3)

Дадим определение накопленного на разных масштабах числа кортежей М:

М = МС_j (2.8.1.4)

Ясно, что при наличии самоподобия ряда М и IS стремятся к бесконечности при устремлении к бесконечности f. Однако скорости устремления к бесконечности накопленной информации и накопленной энтропии разные.

Если рассматриваемый нами ряд обладает фрактальной структурой, то стремление М к бесконечности можно аппроксимировать степенным законом:

М(n) µ n^D (2.8.1.5)

Разрешение масштаб

а n – характерная длина кортежа на которой мы "рассматриваем" масштаб выступает в данном случае аналогом покрытия бесконечного множества значений логического ряда, образующего меру.

Представим логический ряд как ряд кортежей длиной n. Кортежу с номером i сопоставим вероятность P_i, того, что этот кортеж будет принадлежать некоторому ранее заданному и конечному множеству кортежей или иметь какое-либо свойство (например, свойство принадлежать множеству реализовавшихся на данном масштабе кортежей). Далее можно ввести набор величин D_q, вычисляемых для разных значений q:

D_q = ,

где суммирование ведется по всем кортежам.

D_q будет аналогом обобщенных размерностей.

В следующем подразделе постараемся формализовать интуиции размерности логического ряда более точно.

2.8.2 Аналог Хаусдорфовой размерности для логического ряда

Предположим, что рассматриваемый логический ряд есть результат бесконечного последовательного масштабного преобразования кортежа A₀:

А₁ = А₀, А_j = A _j-1 = … = ^j A₀ (2.8.2.1)

Рассмотрим изменение масштаба при увеличении разрешения масштаба n в a раз:

Ai (n) = Ai (n/a) (2.8.2.2)

Рассмотрим внутреннюю характеристику кортежа L – например, количество значений И на масштабе А:

L ( A_j+1) = L ( A_j) (2.8.2.3)

В зависимости от вида внутренней характеристики можно типологизировать различные размерности.

Если у логического ряда существует подобие:

= , (2.8.2.4)

то можно записать между L (A_j) и L ( A_j) в виде:

L ( A_j) = a^d L (A_j), (2.8.2.5)

где d – некоторая степень – аналог размерности Хаусдорфа-Безиховича, определяемая в пределе:

d = (2.8.2.6)

2.8.3 Аналогия с броуновским движением

Рассмотрим обратную связь a=И, 0.5a_i+1: a_i. Процесс эквивалентен бросанию монеты и генерирует логический ряд со случайным распределением значений.

Представим этот ряд как движение броуновской частицы, в котором перемещение частицы на расстояние +x можно интерпретировать как И, а перемещение на -x как Л.

При случайном процессе, перемещение броуновской частицы x задается гауссовым или нормальным распределением вероятностей:

р(x,t) = exp (- ) (2.8.3.1)

Это означает, что на каждом интервале длительностью t изменение параметра x моделируется случайным образом, и вероятность того, что x заключено между x и x+dx, равна p(x,t)dx. Последовательность значений {x_i} есть набор независимых гауссовых случайных чисел с дисперсией

áx^2ñ = x² р(x,t)dx = 2Dt, (2.8.3.2)

где коэффициент D подчиняется соотношению Эйнштейна, которое носит достаточно общий характер:

D = áx^2ñ. (2.8.3.3)

Данное, хорошо известное в статистике, соотношение справедливо для всевозможных стохастических процессов с разными видами распределения вероятностей.

Если заново определить x, заменив x/ на x, новая дисперсия станет единичной и гауссовский процесс станет стандартным. Тогда, установив, что начальное значение x равно нулю, текущее значение в момент времени t будет определяться как

Х(t=nt) ₌ x_i. (2.8.3.4)

В книге Енса Федера "Фракталы"²² суммировано рассмотрение хорошо известного гауссовского процесса с точки зрения его масштабной инвариантности (в некоторых книгах используется термин автомодельность).

В этом случае процесс рассматривается в разных масштабах времени - с разным временным разрешением. То есть, регистрации параметра процесса производятся через каждый промежуток времени bt, где b - некоторое произвольное число. Показано, что какое бы число b временных шагов ни разделяло моменты наблюдений, приращение x всегда составляют гауссов случайный процесс с независимыми значениями с áxñ=0 и дисперсией

áx^2ñ = 2Dt при t=bt. (2.8.3.5)

То есть, с увеличением временного интервала фиксации параметра процесса в b раз, дисперсия процесса тоже увеличивается в b раз, а распределение вероятности, в зависимости от масштабного преобразования, будет иметь следующий вид:

р(x,bt) = exp (- ). (2.8.3.6)

Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что гауссовский процесс обладает свойством подобия (скейлинга).

Он инвариантен в смысле распределения, то есть не меняет вида при преобразовании, которое меняет масштаб времени в b раз, а масштаб Х в b^1/2 раз. Или можно сказать, что при изменении масштаба временного рассмотрения гауссовского процесса в b раз, текущее значение параметра процесса меняется в b^1/2 раз.

Видно, что у этого процесса масштабы времени и значений меняются в разных пропорциях.

Преобразования, которые меняют масштабные характеристики процесса в разных пропорциях, называются аффинными, а процессы, не меняющие своего вида, характера протекания, при аффинном преобразовании, называются самоаффинными.

Н. Винер постулировал случайную функцию Х(t) гауссовского процесса с независимыми значениями {x} через приращение, для любой пары моментов времени t и t₀:

Х(t) - Х(t₀) ~ x½ t - t_0½^Н, где Н=1/2 и t ³ t₀. (2.8.3.7)

Мандельброт ввел понятие обобщенного броуновского движения, заменив в последней формуле значение Н равное 1/2 на любое действительное число из интервала 0<H<1.

Случай, при котором Н=1/2, соответствует полностью независимым значениям x - процесс стохастичен, его значения друг с другом не коррелируют.

Чтобы усовершенствовать эту модель, оценить корреляции будущих значений процесса с прошлыми, но вместе с тем, сохранить преемственность моделей с гауссовскими распределениями, вводится понятие модели обобщенного броуновского движения. Обобщенное броуновское движение имеет бесконечно большое время корреляции.

Дисперсия приращений V(t - t₀) имеет вид:

V(t - t₀) ~ ½ t - t_0½^2Н, (2.8.3.8)

а функция корреляции будущих приращений с прошлыми записывается в виде

С(t) = 2^2H-1 - 1. (2.8.3.9)

Ясно, что "гауссовости" не будет и во многих логических фракталах. Показатель Н, который также можно называть Н-размерностью показывает степень близости логического фрактала к случайному процессу типа классического броуновского движения или бросания монеты.

Оценить показатель Н можно различными методами - например, методом Херста, оценивая накопленное количество И или Л на различных масштабах. Подробнее о методе Херста и обобщенном броуновском движении можно прочитать в уже упоминаемой книге Енса Федера.

Таким образом, Н можно использовать как количественную характеристику логического фрактала.

Послесловие: проблемы и задачи фрактальной логики

«Минотавр берется мною под защиту. Тезей становится стандартным персонажем, личностью без воображения, почитающей все условности. Минотавр – поэт, он не похож на других, он совершенно свободен. Его изолировали от всех потому, что он угрожает установленному порядку.»

Хулио Кортасар²³.

В данном тексте были предъявлены подходы, с помощью которых можно постепенно уточнять понятия логического фрактала и фрактальной логики, перечислены основные представления и концептуальные установки фрактальной логики.

Что дальше? Постараемся пофантазировать.

…Роджер Пенроуз в книге «The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics»²⁴ рассматривает следующий мысленный эксперимент. Пусть мы формализовали с помощью искусственного языка некоторые высказывания, и дали задание компьютеру определить их истинность или ложность. Это определение происходит на основании системы аксиом – набора формализованных алгоритмическим языком мета-высказываний, определяющих все правила присвоения высказываниям логических значений.

Меняя систему аксиом, можно задавать возможные логики, рассматривать значения возможных высказываний. В частности, можно найти такую систему аксиом, в которой суждение «Я лгу» не образует противоречия.

Однако, согласно теореме Гёделя о неполноте, при любой полной системе аксиом всегда найдутся высказывания, которые будут противоречивы и зациклят компьютер – введут в бесконечную последовательность вычислений, из которой невозможно выйти. В теории искусственного интеллекта существует проблема остановки – не существует алгоритма, позволяющего дать ответ о том, остановится или нет программа вычислений²⁵. Таким образом, не существует программы, которая могла бы показать – зациклен компьютер или нет.

Следовательно, любой достаточно сложный компьютер, работающий по определенной аксиоматической схеме всегда можно либо остановить, либо сломать. Вероятность остановки и ломки тем выше, чем сложнее аксиоматическая система.

Если рассматривать наше мышление с точки зрения аксиом, то оно необычайно сложно – требуется очень большое количество аксиом, необходимых для моделирования мышления. Тем не менее, мышление очень надежно – оно очень редко демонстрирует ломки или остановки. Это связано с тем, что наше мышление, по мнению Пенроуза, не устроено по принципу «аксиомы плюс высказывания» - мозг принципиальным образом отличается от компьютера, описанного выше.

Сэр Роджер Пенроуз (род. 1931)

Получил известность в начале 70 годов как соавтор (вместе со Сивеном Хокингом) теории черных дыр. Кроме того, известны парадоксальные геометрические фигуры и мозаики Пенроуза. Последние были запатентованы Пенроузом как основа многих логических головоломок и игр. Имеет личную страницу в Интернет и сам отвечает на письма.

Человеческое мышление решает алгоритмически неразрешимые задачи, которые поставили бы в тупик любую машину. Этой точкой зрения Пенроуз оппонирует Тьюрингу – машина не может мыслить, так как процессы мышления принципиально не представимы в рамках алгоритмов – например, алгоритмов машины Тьюринга.

Мышление, по мнению Пенроуза, является квантовой системой – мозг может производить вычисления на алгоритмически неразрешимых задачах, аксиоматические системы которых нелокальны – находятся в особых "квантово-механических" состояниях.

Мозг умеет переходить от "квантово-механического" состояния – алгоритмически неразрешимого и нелокального к "классическому" через некую (весьма загадочную в рассуждениях Пенроуза) редукционную функцию – функцию локализации мышления в мысли.

Эти туманные рассуждения Пенроуза можно метафорически проиллюстрировать фрактальной логикой.

Если представить логический фрактал как процесс определения аксиоматической системой истинности или ложности высказывания, то он является, по определению, нелокальной системой с точки зрения внешнего наблюдателя. Логическое значение логического фрактала нелокализовано в локальном знаке.

Поэтому логический фрактал может стать метафорой "квантомеханического состояния" в терминологии Пенроуза.

Аналогом классического или локализованного состояния аксиоматической системы будут ряды ИВ или ЛВ. Кроме того, мы будем считать классическим высказыванием и высказывания с аттрактором первого рода.

Ясно, что аналогом локального состояния могут стать законы фрактальной логики.

А вот пример "редукционной функции" или процедуры локализации, где А – логический фрактал:

А\/ИВ

Это уже знакомый нам закон дизъюнкции с истинно-вырожденным рядом.

"Редукционной функцией" может стать и оператор масштабного перехода.

Если перенести представления о локализации на процессы мышления, то мы сможем приблизиться к пониманию мышления как фазового перехода от бесконечности к конечности, от делокализации к локализации.

В связи с этим можно сформулировать, тезис локализации – перехода высказывания из нелокального значения логического фрактала в локальное – классическое высказывание:

Для логического фрактала всегда найдется преобразование, переводящее его в вырожденный ряд или ряд с аттрактором первого рода.

Подчеркнем еще раз: это преобразование не есть конечный алгоритм. Проблема остановки накладывает ограничения на выход из бесконечного цикла. Представить это преобразование с помощью нашего локального мышления очень трудно – не смотря на то, что его можно формализовать фрактальной логикой.

Логический фрактал это «монстр» среди алгоритмов, так как он по определению зациклен – в идеальном фрактале невозможно выйти из обратной связи. «Монстр» по определению ненаблюдаем – при наблюдении он превращается в конечный объект описания.

Логический фрактал операционально замкнут. Он, говоря метафорически, не взаимодействует с внешним миром, не забирает информацию из окружающей среды. Для него не работают классические кибернетические модели входа и выхода, организации и среды. Наоборот, развивая интуиции Лейбница о монадах, можно сказать, что логический фрактал создает внешнюю среду, конструирует мир, периодически в него "вываливаясь" своими локализациями, образуя классические высказывания, диктуя внешнему окружению – какие именно локальные высказывания должны иметь фиксированные значения.

Можно предположить, что если это преобразование, останавливающее фрактал не есть алгоритм, то оно спонтанно – если термин "спонтанность" можно вообще здесь употреблять. Это преобразование есть событие – ситуация, которая может случиться или не случиться.

Преобразование "Нелокальное – локальное" граничит с мистикой и метафизикой. У монады – логического фрактала, нет окон. В акте наблюдения фрактал локализуется в классическую форму, которая поддается интерпретации с помощью понятных нам представлений.

Процедуру локализации мышления можно проиллюстрировать мифом о Тезее. Нелокальный бесконечный Лабиринт – символ фрактала, топики мышления. В идеальном лабиринте, так же как и во фрактале, невозможно остановиться, невозможно достигнуть цели.

В лабиринте можно только двигаться. Что и делает нелокальный конечный Минотавр (кстати, ненаблюдаемый) – символ хроноса мышления – бесконечного движения.

Минотавр распределен по всему лабиринту одновременно, поэтому для его описания более адекватной будет не траектория, а функция распределения вероятности его нахождения в том или ином месте.

Убийство Минотавра по своей методике и практикам интерпретации напоминает эксперимент в квантовой механике, наблюдение квантово-механического объекта.

Акт наблюдения при исследовании природы – это эксперимент и одновременно убийство, расчленение того, что хочешь увидеть. Убийство сопряженное с насилием, с властью, с культурными практиками вторжения в запретные области.

Ученый успокаивает себя тем, что эксперимент-убийство - это вынужденные издержки научного метода, так как наблюдать и описывать можно только мертвое тело. Живое тело не локализовано, не подготовлено к специально выстроенному эксперименту.

Метафора "эксперимент-убийство" не нова. В качестве примера можно сослаться на работы Мишеля Фуко, блестяще описавшего становление экспериментальных практик в медицине²⁶.

Итак, чтобы убить Минотавра (совершить экспериментальный акт наблюдения) надо осуществить во-первых, сложную подготовку системы к акту эксперимента (найти пещеру, спуститься в нее, перейти из локального состояния в пограничное), а во-вторых, провести правильную интерпретацию эксперимента – сделать так, чтобы все поверили в то, что Тезей действительно убил Минотавра, а не принес голову от быка, а туловище от человека. Сделать это, как мы выяснили, сложно, так как до убийства (эксперимента) Минотавр ненаблюдаем, а после эксперимента мы видим не Минотавра, а что-то иное.

Развивая эту метафору, можно сказать, что убив Минотавра и выйдя из лабиринта-фрактала, Тезей локализовал и демистифицировал мышление, остановил бесконечные фракталы, решил проблему остановки.

Нить Ариадны (метафора линии), находится в руках героя. Линия – символ нового мышления, символ перехода от темного нелокального мифа к логосу европейской культуры.

Линия спрямляет фрактал-лабиринт, рождая геометрию и культуру мышления с линейными и локализованными понятиями. Лабиринт лишается своего права быть бесконечным, и от всей его парадоксальности до нас доходит только культурный шифр в виде послания: "Все критяне лжецы" – сказал один критянин". Лабиринт пропадает и выпрямляется, перестает замечаться новой культурой.

Нечто похожее происходит и с Минотавром. Невидимый и непонятный Минотавр локализуется в схеме объяснения, в знаках, в антропоморфных образах. Монстр оказывается всего лишь человеком с головой быка.

Если Тезей – экспериментатор, убивающий миф, то главным орудием убийства, главным мотивом признания эксперимента верным служит интерпретация события эксперимента-убийства. Не важно, убил Тезей Минотавра или нет, важно то, что мы это интерпретировали именно так, а не иначе. Мы интерпретировали свою жизнь и свои события исходя из этой интерпретации.

Эксперимент показал, что Минотавра больше нет. Мышление линейно и локально. Всё ясно.

Но что-то в этой интерпретации эксперимента-убийства заставляет усомниться. Слишком всё просто. Это подозрительно. Мышление в этой метафоре становится слишком понятным. И самое главное – мертвым, не нужным, не мыслящим.

Проведем следующий мысленный эксперимент. Допустим, Тезей спустился в пещеру убивать Минотавра. Нам точно известно, что в момент времени Т либо нелокальный Минотавр убил (делокализовал) Тезея, либо локальный Тезей убил (локализовал) Минотавра. Эти события равновероятны и дополнительны. Мы стоим около входа в пещеру и знаем, что если в момент наблюдения Т+dT мы видим Тезея, то Тезей убил Минотавра, если мы не видим Тезея, то произошло дополнительное событие.

Вопрос состоит в следующем – в каком состоянии находится Тезей на протяжении времени dT?

Так как Тезей спустился в лабиринт, то он стал одновременно классическим и квантово-механическим объектом. Значит, Тезей находится в состоянии суперпозиции локального и нелокального состояний – в состоянии суперпозиции жизни и смерти. Тезей находится в пограничном состоянии, и выходит из него только в момент наблюдения Т+dT.

Кое-кто может сказать, что я перепутал Минотавра с кошкой Шредингера, но, тем не менее, этот мысленный эксперимент нужен для обсуждения метафоры нелокальности и наблюдаемости мышления с точки зрения представлений фрактальной концепции.

Но если Тезей находится в состоянии суперпозиции, то появление Тезея мы можем с такой же вероятностью интерпретировать как убийство Тезея – например, превращение Минотавра в Тезея, ведь никто нам не гарантирует, что Тезей, спустившийся в пещеру и Тезей вышедший из нее есть один и тот же человек.

Далее. Кто нам сказал, что Минотавр есть? Ведь его никто кроме Тезея не видел. И что мог видеть Тезей?

Переформулируем метафору. Кто нам сказал, что мышление нелокально, фрактально, голографично (нужное подчеркнуть) если это невозможно увидеть или почувствовать? Что, кто и и как обеспечивает познавательную целостность нашего эксперимента?

Сомнение в интерпретации эксперимента остается.

Это сомнение оставляет мне надежду на то, что Минотавр-фрактал мышления скорее жив, чем мертв, так как акты мышления, акты локализации мыслей иногда всё-таки будут случаться с человеком. Или, говоря иначе, у человека есть мысли, которые нельзя интерпретировать как следствие и развитие других мыслей.

Тезей убивает Минотавра: метафора локализации мышления.

В руках героя нить – линия, локализующая лабиринт-фрактал.

Мы до сих пор не можем ответить на вопрос о том, откуда появляется мышление. Мы строим разные интерпретации и тем самым, сами мало чем отличаемся от Тезея, сначала соединяющего голову быка с туловищем человека, а потом нагло утверждающего, что это есть единое целое, это был Минотавр.

Можно осмыслить такие ответы-соединения.

Поспешным ответом о появлении мышления является ответ в терминах бессознательного и подсознательного.

Психотерапия неврозов в этой метафоре состоит в том, чтобы локализовать бессознательное в мышлении, "выпрямить" существующий, но ненаблюдаемый фрактал-бессознательное с помощью техник психотерапии, предъявить «настоящую» логику и подоплеку событий.

Другая точка зрения состоит в том, что бессознательного нет, точнее, размышление в терминах бессознательного некорректно. За явленной мыслью нет ничего скрытого. В этой метафоре парадоксы-фракталы есть поверхности мышления, складки в которых живет смысл, иногда локализуемый в линиях мысли.

Этой точки зрения придерживался Жиль Делез²⁷, философ, наиболее активно использовавший в своем творчестве парадоксы и представления фрактальной геометрии.

Валерий Подорога²⁸, анализируя тексты Делеза, Мерло-Понти анализирует различение категорий «феноменологическое – топологическое». Под феноменологическим описанием понимается представление пространства, аппелирующее к интенциональным актам и выражениям интенциональной активности в языке. Примером феноменологического описания могут быть модели и образы евклидовой геометрии.

Говоря о топологическом описании, Подорога анализирует культурные и философские представления о наличии реальности принципиально не сводимой к языку, обладающей своей, имманентной логикой.

Это представление можно ассоциировать с мистической точкой зрения. Термин "мистика" надо понимать как граница, работа с ненаблюдаемыми и невыразимыми в языке предметами. Мистика не рассматривает вопрос о том, существуют или нет ненаблюдаемые предметы. Мистика молчит и действует.

С этой точки зрения, Пенроуз – мистик. Математика, в общем, вещь мистическая – ведь числа не наблюдаемы. Про онтологический статус числа философы спорят с времен Пифагора до наших дней. Это, однако, не мешает их использовать.

Наиболее ясно мистику локализации сознания интерпретировал русский философ и математик Василий Васильевич Налимов.

Благодаря Василию Васильевичу и Жанне Дрогалиной (вдове ученого) я впервые узнал о уже упоминавшихся работах Хофштадтера и Пенроуза. Поэтому мое обращение к Налимову после Пенроуза не случайно.

Василий Налимов ввел представление о вероятностной модели сознания – спонтанной локализации - распаковке смысла.

Постараемся установить связь между этой моделью и логическими фракталами.

Василий Васильевич Налимов (1910 - 1997)

Математик, инженер, философ, узник Гулага, поэт, соратник А.Н. Колмогорова. Любимые темы размышлений – бесконечность, философия числа, вероятностное мышление. Очень интересны и актуальны его размышления в работе "Мир как геометрия и мера" о законе Эсту-Кондоне-Ципфа-Мандельброта, который носит степенной характер и отражает регулярность письменных текстов и текстов биотаксономии.

Распаковка делокализованного на некоторой оси m смысла (в нашей терминологии – логического фрактала), с функцией распределения p(m), по Налимову, осуществляется в некотором контексте y, который является условием ситуации “распаковки смысла” посредством возникающего фильтра p(y/m). Ситуация возникновения нового смысла с вероятностью распределения p(m/y) может метафорически быть записана в виде формулы Байеса для условной вероятности:

р (m/y) = k p(m) p(y/m),

где k – константа нормировки.

Налимов приводит следующий пример мыслительной операции:

“Однажды на двери официального Бюро переводов я прочитал такую фразу: “Из-за отсутствия переводчиков переводы будут выполняться в минимальный срок 7-10 дней. Здесь контекст, окружающий слово “отсутствие”, заставляет нас выбрать фильтр, позволяющий понять, что речь идет не об абсолютном отсутствии переводчиков, а об их нехватке” .

Можно предположить, что семантическое пространство культуры распределяет в бесконечной последовательности смыслов - логических фракталов, которые человек индивидуально распаковывает в каком-то контексте, локализуя логическое значение высказывания. Где-то (в языке, в культуре, в квантовых системах) распределены виртуальные значения логического фрактала, которые человек (мышление, сознание) самостоятельно локализует – переводит из бесконечного цикла возможных итераций в конечную мысль.

Подчеркнем, что особенностью этой распаковки по Налимову является ее спонтанный и вероятностный характер. В этом, повторимся, состоит неадекватность метафоры мышления как алгоритмического автомата.

Мышление локализует понятия не по алгоритму, а в результате насыщения "фрактального блуждания".

Чтобы сделать последнюю метафору более понятной, рассмотрим очень интересную концепцию немецкого педагога и психолога Герхарда Шефера "Зигзаг-обучение"²⁹.

Центральная метафора концепции Шефера – метафора репейника. Понятие, по его мнению, появляется из ассоциаций, а ассоциации и есть эти самые репейники, которые спонтанно и случайно соединяют (ассоциируют) вещи, иногда даже абсолютно не связанные между собой.

При построении модели динамики ассоциаций Шефер пользуется моделью памяти Г. Эбенгауза, опытом ассоциативных тестов в психоаналитике.

Модель образования понятия в метафорах Г. Шефера. Слева – возникновение понятия из ассоциативной цепочки, справа – генезис белка. Рисунок из книги «Синергетическая парадигма. Многообразие поисков и подходов. М., 2000

На мой взгляд, эта ассоциативная модель напоминает концепции синкретического детского и первобытного мышления, развиваемые в работах Ж. Пиаже, Л.С. Выготского, А.Р. Лурия.

Значение высказывания в таком мышлении может быть интерпретировано с помощью логического ряда – синкретичное мышление легко отказывается от фиксированного значения суждения в пользу конкретного контекста произнесения суждения³⁰. Ассоциация, в отличие от понятия, спонтанна, случайна и контекстуальна.

Важно то, что ассоциации, по Шеферу, образуют цепочки – "репейники". Эти цепочки по структуре напоминают логические ряды. Они длинные и хаотические.

Дальнейшая эволюция ассоциативных цепочек представлена Шефером в виде метафоры генезиса белка. Так же как цепочки аминокислот постепенно образуют поперечные соединения и структурируются в готовый белок, так же и "репейники" ассоциаций образуют самопересечения и наложения, в конце концов образующие ассоциативное окружение и готовое понятие с логическим ядром.

Интересно то, что структуры белка сейчас описывается с помощью степенных законов, которыми количественно описываются фракталы.

Если говорить, метафорами фрактальной логики, бесконечные логические фракталы превращаются в конечные понятия за счет самопересечений и коагуляции значений.

То есть, логический фрактал превращается в классическое понятие за счет увеличение собственной сложности, которая служит средой для спонтанной реструктуризации – оформления понятия.

В свое время кибернетики обсуждали мысленный эксперимент, героем которого была обезьяна, случайна стучащая по клавишам пишущей машинки. Вопрос состоял в следующем – за какое время обезьяна напечатает, например, "Войну и мир".

Так как удары по клавишам равновероятны, то существует отличная от нуля вероятность, что рано или поздно выпадет комбинация, соответствующая тексту романа.

Допустим, что текст романа состоит из 5 миллионов знаков. Это соответствует кортежу длиной в 5 миллионов значений. Если наш алфавит состоит из 40 символов (буквы, пробел и вспомогательные знаки), то мы имеем дело с 40-значной логикой. Если предположить, что кортеж романа равновероятен с другими кортежами такой длины, то вероятность его написания равна единице, деленной на 40 в степени пять миллионов.

Белковые молекулы тоже можно представить как кортежи из атомов, при этом их сложность не меньше, чем сложность "Войны и мира".

Оценивая время случайного написания обезьянкой "Войны и мира" и время возникновения белковой жизни из неорганического вещества за счет случайных встреч молекул, можно было прийти к выводу, что они намного превышают время жизни нашей вселенной.

Сходную аргументацию можно применить и к ассоциациям в концепции Шефера. Если ассоциации случайны, вероятность возникновения понятия очень низка – человек будет напоминать обезьянку, чьи удары по клавишам не коррелируют друг с другом.

Но дело всё в том, что ассоциации не случайны – при большом их количестве они начинают зависеть друг от друга, образовывать корреляции и макро-порядки.

В статье "Познание как фрактальное блуждание в мире"³¹ мною была исследована точка зрения на то, что понятие появляется не из случайных, а из хаотических ассоциаций.

Разница между случайными ассоциациями и хаотичными напоминает разницу между классическим броуновским движением и обобщенным броуновским движением, о которых было рассказано в предыдущем разделе.

Обобщенное броуновское движение, не смотря на схожесть с классическим, несет в себе некий паттерн, макро порядок, который резко увеличивает вероятность появление макро-событий – возникновения понятий.

Создание паттернов – сетевой феномен, возможный в сложных системах, состоящих из большого числа частей. Такие системы умеют хранить и перерабатывать распределенные нелокальные паттерны, которые способны влиять на микроуровень, создавая синергизм между макро и микропорядками.

Про это пишут и Николис с Пригожиным – в неравновесных системах возникает ассиметрия и необратимость, которые являются факторами структурообразования, резко увеличивая вероятности возникновения устойчивых соединений.

Эти выводы можно применить и к возникновению мышления и языка – как систем, далеких от равновесия.

Для объяснения возникновения мышления и языка У. Матурана и Ф. Варела используют понятие рекурсии и рекуррентных взаимодействий³². Именно благодаря рекурсии – как наличию циклического воздействия на продукты собственного действия организм поддерживает замкнутый цикл своего функционирования. Рекуррентность заключается во взаимных изменениях организма и его среды, приобретающих цикличный характер. Мышление и язык рассматриваются с этих точек зрения, и их возникновение интерпретируется как возникновение циклов нового порядка – над химическими и физическими циклами функционирования.

Спекулятивный ответ на вопрос о "лени" природы и "лени" языка, порождающего подобные структуры состоит в общности циклических механизмов генерации этих структур.

Самореферентность, рефлексия, лингвистическое различение лингвистических различений в рекурсивных схемах предстают в этой концепции необходимым условием возникновения языка.

Схожую концепцию становления языка и мышления развивают В.И. Аршинов и Я.И. Свирский в статье "Синергетическое движение в языке"³³. Средой самоорганизации, блуждания, формирующего понятие предстает язык. Из блужданий на микроуровне образуется макроуровень – параметр порядка, находящийся в синергизме с макроуровнем.

Обращаясь к нашим рассуждениям по поводу операциональной мистики остановки логического фрактала, можно провести аналогию и сказать, что главная мистика, с которой пытается работать синергетика в своих концептуальных построениях, состоит в возникновении параметра порядка кооперативных явлений.

Интересно то, что и Герман Хакен в своих работах по синергетике и Умберто Матурана и Франциско Варела в концепции автопоэтической организации обращаются к творчеству Джузеппе Арчимбольдо, создавшему особый портретный стиль в котором лица изображаются составленными из фруктов и овощей. Его причудливое искусство, с точки зрения Матураны и Варелы, реализует видимую «организацию» лица через «структуру» новых компонентов.

С точки зрения Хакена, лицо – это результат распознавания образа, который является результатом самоорганизации параметров порядка. В своей книге, посвященной функционированию головного мозга³⁴, развивал представления о процессе мышления как о процессе распознавания образов. При этом, полемизируя с Тьюрингом, Хакен невольно становится на позицию Пенроуза – возникновение параметра порядка мышления (идеи, понятия) некорректно записывать на языке алгоритмов, но можно представить с позиций хаотической динамики.

Эта точка зрения учитывает наличие принципиально неформализованного опыта, нелокально распределенного в социальных сетях. Опыт связан с интуицией, в частности с представлениями человека о том, что можно принимать в качестве решения.

Представления фиксируются в виде паттернов – образов сложной синергетической системы и описываются в виде динамики параметров порядка системы.

Возвращаясь к фрактальной логике можно сказать, что структура паттернов может быть описана фракталами.

Образование значения суждения:

возможная метафора локализации

Возможная метафора образования значения суждения предстает как процесс перехода с микро уровня – уровня хаотических, фрактальных ассоциаций на макро уровень – уровень локального и фиксированного понятия. Без парадоксальных фрактальных перескоков на микроуровне, понятие – как локальный макрофеномен, было бы невозможным.

Необходимость рассмотрения макро и микроуровней заставляет вводить наблюдателя и техники наблюдения постоянно меняющихся живых систем.

С этой точки зрения проблема остановки является проблемой только тогда, когда машина не видит разницы между макро и микро масштабами рассмотрения, не вводит наблюдателя в систему…

На проблеме остановки мы остановим³⁵ поток наших фантазий начатый в начале этого раздела, и постараемся наметить проблемы и задачи, которые можно исследовать в будущем фрактальной логикой. Их можно условно разделить на "внешние" и "внутренние".

К внутренним проблемам можно отнести уточнение понятия логического фрактала, введение новых типов логических фракталов, новых типов масштабных преобразований и обратных связей, развитие техник решения прямых и обратных задач.

Важной внутренней проблемой является проблема соответствия и дополнительности фрактальной логики и других логик, исследование наблюдаемости логических фракталов, построение фрактальных версий логики предикатов.

К внешним проблемам можно отнести задачи интерпретации фрактальной логики.

Их можно разделить на две части – философские и научные.

К научным задачам можно отнести создание моделей шифровки и дешифровки информации (затравка и масштабные преобразования могут выступать в качестве кода и ключей), развитие биологических моделей морфогенеза, ковариантной и инвариантной редупликации, развитие методов обработки временных рядов различной природы (затравка может быть интерпретирована как временной ряд).

Интересной видится интерпретация идей фрактальной логики для построения феноменологических концепций восприятия. В частности, Дж. Гибсон³⁶ развивал идеи встроенности зрительного восприятия в различные масштабы рассмотрения.

Важными философскими задачами являются исследования эпистемологического статуса фрактальной логики, решение проблем соответствия и дополнительности фрактальных логик и классических логик.

Можно так же сказать, что фрактальная логика может стать важным ресурсом для развития концептуальных идей теории автопоэзиса и философии самоорганизации – синергетики.

Тема отдельного исследования – фрактальная логика как ресурс сетевого мышления, осмысление познавательных практик сети с помощью представлений о фракталах.

В серии статей³⁷ я попытался показать специфику социокультурного феномена сети, который я обозначил как "фрактальный нарратив" – нарратив аморфного, слабо структурированного, но тем не менее очень сложного и креативного сетевого мышления – мышления сетью, мышления в сети, общения и общества как сетевого процесса с фрактальными структурами.

Общество, мышление, сеть – очень сложные объекты, к изучению которых наука только ищет концепции и подходы. Объекты, находящиеся в стадии хаотического становления.

Есть надежда, что метафоры, аналогии и модели фрактальной логики смогут приблизить нас к их пониманию.

В заключение честно признаюсь, в том, что мне самому многое непонятно во фракталах и фрактальной логике.

Но если моя книжка возбудила мышление читателя и спровоцировала у читателя рассмотрение проблем и вопросов в ней изложенных, то она достигла своей цели.

1 Рисунок взят из книги: С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов Синергетика – новые направления. М., 1989

2 Хофштадтер Д. Гёдель, Эшер, Бах: это бесконечная гирлянда. – Самара, «Бахрах-М», 2001

3 И. Лакатос Бесконечный регресс и обоснования математики. // Современная философия науки: знание, рациональность, ценности в трудах мыслителей Запада. М., "Логос", 1996

4 Матурана Умберто, Варела Франциско. Древо познания. Перевод с англ. Ю.А. Данилова. – М.: Програсс-Традиция, 2001

5 В качестве примера можно привести книгу: F. Varela The Third Culture. Simon&Schuster, 1995.

6 Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. Freeman, San-Francisco.1977

7 Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. Freeman, San-Francisco.1977 р.4

8 Ю.А. Данилов В.В. Кадомцев Что такое синергетика? // www.synergetic.ru

9 Статья была опубликована в сборнике «Социокультурная философия математики». Текст статьи есть на на моей ИНТЕРНЕТ странице www.iph.ras.ru/~vtar

10 Тарасенко В.В. Логико-методологические аспекты концепции фрактала. Дисс. на соискание ученой степени кандидата философских наук. М., 1998. Автореферат находится на моей ИНТЕРНЕТ странице www.iph.ras.ru/~vtar

11 Полани М. Личностное знание. М., Прогресс, 1985

12 Меськов В.С. Очерки по логике квантовой механики. М., 1986. с.34

13 Н.И. Кондаков Логический словарь-справочник. М., Наука, 1975 с. 515

14 Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фрактали, подобие, промежуточная асимптотика //УФН, т.146 № 3.

15 Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. Freeman, San-Francisco.1977 р.4

16 Peitgen H.-O., Juergens H., Saupe D. Chaos and Fractals. New Frontiers of Science. Spr.-Verl. 1992. страниица 17

17 Зенкин А.А. Ошибка Георга Кантора // Вопросы философии, 2000 №2, стр. 165-168, Зенкин А.А. Новый подход к анализу проблемы парадоксов // Вопросы философии", 2000, №10, стр. 79-90)

18 Определение кортежа и его видов – см. 2.4

19 Хофштадтер Д. Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда. Самара. «Бахрах-М», 2001 с.113

20 Г. Николис, И. Пригожин Познание сложного. Введение. М., Мир, 1990 с. 212 – 223

21 Г. Николис, И. Пригожин Познание сложного. Введение. М., Мир, 1990 с. 221

22 Е. Федер. Фракталы. М., Мир, 1991

23 Кортасар Х. Слюни дьявола: Рассказы, пьеса. СПб, Азбука-Классика, 2001 с.211

24 Roger Penrose The Emperor's New Mind : Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics. Penguin Book 1987

25 . Допустим, требуется написать программу А, которая бы по любому подаваемому ей на вход тексту программы В, определяла бы, остановится ли когда-нибудь программа В в процессе своей работы или зациклится. Если программа B зациклится во время своей работы, то программа A должна начать работу, выдать сообщение о зацикливании В и закончить свою работу. Тюринг в 1936 году показал, что написать программу А невозможно.

26 Фуко М. Рождение клиники. М., Смысл. 1998

27 Жиль Делез. Логика смысла. М., Академия, 1995

28 Валерий Подорога Феноменология Телаю Введение в философскую антропологию. М., Ad Marginem, 1995

Налимов В.В. Разбрасываю мысли. В пути и на перепутье. М., 2000 с. 15-19

29 Герхард Шефер "Зигзаг" как метод обучения, или может ли из сумбура возникнуть порядок? // Синергетическая парадигма. Многообразие поисков и подходов. – М., Прогресс-Традиция 2000

30 А.Р. Лурия Об историческом развитии познавательных процессов. М., Наука, 1974

31 Познание как фрактальное блуждание в мире.// Что значит знать? Сборник научных статей. СПб.: Университетская книга., 1999

32 Матурана Умберто, Варела Франциско. Древо познания. М., Прогресс-традиция. 2001 с. 66-67, 160-161.

33 Аршинов В.И., Свирский Я.И. Синергетическое движение в языке // Самоорганизация и наука: опыт философского осмысления. М., 1994

34 Герман Хакен Принципы работы головного мозга: Синергетический подход к деятельности мозга, поведению и когнитивной деятельности. М., ПЕР СЭ, 2001

35 Проблему остановки можно обойти, если "прокручивать" цикл конечное число раз. При достижении функции определенного значения цикл самоуничтожается вне зависимости от того, зациклился алгоритм или нет. Есть аналогия остановки и во фракталах – ясно, что природный фрактал будет "бесконечен" лишь на определенном масштабном интервале. Природа периодически останавливает масштабные преобразования, переход на качественно новый масштабный интервал.

36 Дж. Гибсон Экологический подход к зрительному восприятию. – М., 1988г., с.34

37 Человек Кликающий (Глобальная компьютерная сеть как философская проблема). // Журнал “Планета ИНТЕРНЕТ” №4(6) 1997 с.62; Парадигмы управления в информационно-коммуникативной культуре// Сборник Синергетика и социальное управление. М., Изд-во РАГС, 1998. - 325 с., ; Вариации на темы Маршала Маклуэна, Тимоти Лири и Бенуа Мандельброта//www.zhurnal.ru; Человек Кликающий: фрактальные нарративы// Международные чтения по теории, истории и философии культуры. Выпуск шестой. Проблемы общения в пространстве тотальной коммуникации. СпБ, “Эйдос”, 1998; Антропология ИНТЕРНЕТ: самоорганизация "Человека кликающего"// Общественные науки и современность, #5, 2000