Тарасенко В.

Фрактальная логика

Линия состоит из множества точек; плоскость - из бесконечного множества линий; книга - из бесконечного множества плоскостей; сверхкнига - из бесконечного множества книг. Нет, решительно не так. Не таким more geometrico должен начинаться рассказ. Сейчас любой вымысел сопровождается заверениями в его истинности, но мой рассказ и в самом деле - чистая правда.

Х.Л. Борхес Книга песка

Содержание Глава 1 Исторические предпосылки фрактальной логики

1.1 Математические “монстры” - примеры и проблемы

1.2 Логические парадоксы – примеры и проблемы

1.3 “Монстры” и парадоксы – неслучайные совпадения.

1.4 Исторический очерк фрактальной геометрии

1.5 Принцип дополнительности фрактальной геометрии

1.6 Парадоксы как фракталы. Фрактальная логика: обратная связь как модель “монстров” и парадоксов

1.7 Парадокс лжеца: логический формализм через понятие обратной связи.

Глава 2 Логические ряды и логические фракталы

2.1 Определение логического ряда. Виды рядов.

2.2 Процедуры генерации логических рядов с помощью обратных связей. Прямая и обратная задача генерации логического ряда.

2.3 Операции с логическими рядами

2.4 Кортежи, масштабы и инварианты логических рядов. Самоподобие. Определение регулярного логического фрактала.

2.5 Формализм масштабного преобразования. Определение преобразованных логических фракталов.

2.6 Монады. Монадология.

2.7 Тезис о построении логического фрактала через два типа обратных связей

2.8 Количественные характеристики логических фракталов

Послесловие: проблемы и задачи фрактальной логики

Глава 1 Исторические предпосылки фрактальной логики

1. Математические “монстры” - примеры и проблемы

Рассмотрим построение триадной кривой, которую впервые исследовал в 1904 году шведский математик Хельге фон Кох (рисунок 1.1.1).

Возьмем прямолинейный отрезок длины 1. Назовем его затравкой. Разобьем затравку на три равные части длиной в 1/3, отбросим среднюю часть, и заменим ее ломаной из двух звеньев длиной 1/3 таким образом, чтобы средняя часть оказалась основанием равностороннего треугольника со стороной 1/3. Мы получили ломаную, состоящую из четырех звеньев с общей длиной 4/3 – так называемое первое поколение.

Для того чтобы перейти к следующему поколению кривой Коха, надо у каждого звена аналогично отбросить и заменить среднюю часть.

Соответственно, длина второго поколения будет равна 16/9, третьего – 64/27 и так далее.

Если продолжить этот процесс до бесконечности, то в результате получится триадная кривая Коха.

Рассмотрим свойства этой кривой.

Во-первых, эта кривая не имеет длины – как мы убедились, с увеличением числа поколений ее длина стремится к бесконечности.

Во-вторых, к этой кривой невозможно построить касательную – каждая ее точка является точкой перегиба (особой точкой или сингулярностью), в которой производная не существует - эта кривая не гладкая.

Рис.1.1.1 Построение кривой Коха

Длина и гладкость – фундаментальные свойства кривых, которые изучаются как евклидовой геометрией, так и неевклидовыми геометриями типа геометрий Лобачевского или Римана. На основании этих свойств развиваются методы анализа и преобразования геометрических фигур.

К триадной кривой Коха традиционные методы геометрического анализа оказались неприменимы. Поэтому, кривая Коха оказалась чудовищем – “монстром” среди гладких обитателей традиционных геометрий.

Одним из первых, кто досконально начал изучать “монстров” был Карл Вейерштрасс. Вслед за Бернардом Больцано, опубликовавшем в 1851 году книгу "Парадоксы бесконечности", он привел пример функции, графиком которой была негладкая кривая, обратив внимание на то, что понятие “непрерывная функция” и “непрерывная функция имеющая в каждой точке производную” не являются тождественными.

18 июля 1872 года в докладе Берлинской академии наук Вейерштрасс доложил пример негладкой непрерывной функции. Данная функция задается рядом:

W(x) = аⁿ cos (b^npx),

a<1, b>1, ab>1.

График этой функции (рис. 1.1.2) самоподобен, то есть, инвариантен (неизменен) при определенных преобразованиях координат (растяжения по абциссам в b раз и в 1/a раз по ординатам). В малом масштабе дублируются детали крупного масштаба, в результате этого можно говорить, что это функция никогда не сводится на малом отрезке к линии - она непрерывна, но не имеет дифференциала и производной. Функция имеет очень сложную “пилообразную” структуру - причем на “пилы” большего масштаба до бесконечности накладываются “пилы” меньшего.

Рис 1.1.2 Функция Вейерштрасса при a=0,5 b=4 на различных масштабах: иллюстрация самоподобия¹

Пример Вейерштрасса получил широкий отклик и потряс математиков. “Как интуиция может обмануть нас до такой степени?” - восклицал Пуанкаре. Бурбаки так описывает период появления “монстров”:

“...примеры кривых, не имеющих касательных, построенные Больцано и Вейерштрассом, положили начало патологическим явлениям в математике. В течение целого века мы видели столько чудовищ такого рода, что почувствовали некоторое пресыщение, и чтобы нас действительно удивить, надо было бы показать нам нагромождение самых нелепых уродств. У большинства математиков XIX в. чувство отвращения сменилось состоянием растерянности... надо было винить грубый и несовершенный характер нашей геометрической интуиции, и вполне понятно, что после этого она с полным правом была дискредитирована как средство доказательства”.

“Монстры” составили своеобразную альтернативу объектам и методам евклидовой геометрии. До конца XX века эта альтернатива носила скорее негативный, чем позитивный оттенок. “Монстры” не были другой геометрией, это были скорее “темные” и “запретные” зоны геометрического анализа в которых традиционные методы не работали.

Рис.1.1.3 Бернард Больцано

(1781 - 1848)

Чешский философ, матемтик и теолог. Считал, что актуальная бесконечность существует объективно в двух аспектах – как данное (реальное) и как нереальное, но возможное существование "в себе". Нереальная бесконечность не зависит от субъекта и создает возможность мыслить чистыми, отвлеченными понятиями.

Рис. 1.1.4 Карл Вейерштрасс

(1815 - 1897)

Немецкий математик, автор аксиомы Вейерштрасса, признака Вейерштрасса, теоремы Вейерштрасса и множества исследований в области математического анализа, теории чисел, вариационного исчисления.