Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт Физико – технический

Направление подготовки 010400. Прикладная математика и информатика

Кафедра Прикладной математики

ОТЧЁТ

по лабораторной работе №3

«Численные методы многомерной минимизации нулевого порядка»

по дисциплине «Методы оптимизации»

Вариант № 10

Выполнил студент гр. 0В31 ____________

Попов Н.А.

(Ф.И.О.) (Подпись)

_____ _____________ 2015 г.

(Дата сдачи отчета)

Отчёт принят:

____________

Доцент кафедры ПМ Бабушкин Ю.В.

(Ученая степень, ученое звание, должность) (Подпись) (Ф.И.О.)

_____ _____________ 2015 г.

(Дата проверки отчета)

Томск 2015 г.

Лабораторная работа № 3

Тема: Численные методы многомерной минимизации нулевого порядка.

Цель работы: Приобретение практических навыков для решения задач многомерной минимизации численными методами нулевого порядка.

Постановка задачи

Требуется найти безусловный минимум функции многих переменных , то есть, такую точку , что

Методы безусловной оптимизации

Поставленная задача может быть решена с помощью необходимых и достаточных условий безусловного экстремума. Однако, во многих практических случаях найти производные от заданной функции не представляется возможным. Поэтому решение задач многомерной оптимизации численными методами является актуальным при изучении методов оптимизации.

Большинство численных методов оптимизации относится к классу итерационных. Для заданной начальной точки генерируется последовательность точек с координатами

Переход от точки к точке представляет собой итерацию. Численное решение задачи (1) связано с построением последовательности точек , обладающих свойством

. (2)

Общее правило построения последовательности имеет вид

где - направление поиска точки из точки , а число - величина шага, которая выбирается так, чтобы выполнялось условие .

Алгоритмы безусловной оптимизации различаются способом построения вектора направления движения к точке минимума и выбора величины шага .

В данной лабораторной работе используются методы нулевого порядка:

- методы нулевого порядка (методы поиска, прямые методы). В этих методах при поиске точки экстремума используются только значения функции;

Методы нулевого порядка используемые в данной лабораторной работе:

- минимизация по деформируемому симплексу (метод деформируемого многогранника);

- метод конфигураций (алгоритм Хука-Дживса);

- метод Розенброка;

- метод сопряженных направлений (метод Пауэлла);

Функция:

График функции

График линий уровня

Поиск точного значения координаты точки минимума с помощью необходимых и достаточных условий экстремума.

Необходимое условие существования экстремума:

Для того чтобы функция  имела в точке экстремум, необходимо, чтобы ее частные производные 1-го порядка либо равнялись нулю, либо не существовали в этой точке:

, (∞, не существует)

, (∞, не существует)

Точки, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются критическими точками функции и только в них функция может принимать экстремальные значения.

Достаточное условие существования экстремума:

Пусть в точке выполнены необходимые условия экстремума. Найдем все вторые частные производные функции и обозначим их значения в этой точке:

; ; .

Если , то функция имеет в точке экстремум, причем:

1. если – в точке ;

2. если – в точке ;

Если , то функция имеет в точке экстремум не имеет.

Если , то вопрос о существовании экстремума не решен, требуются дополнительные исследования.

Дано:

Найдем частные производные 1-го порядка:

Решим систему уравнений, найдем критические точки:

Критические точки:

Найдем частные производные второго порядка:

Так как частные производные не зависят от :

Вывод: в точке имеется минимум, значение функции в этой точке: ,следовательно, точка минимума функции равна (2;5).