Практические задачи по геометрии. Гиа в13.

Всем привет! Сегодня разбираем задачи В13, которые очень часто вызывают трудности из-за того, что ребята не могут “увидеть” в задаче определенную теорему , не видят подобия, или не знают, как применить принципы подобия фигур. Нарисуй им треугольник – и все в порядке, “все работает”, а как видят лестницу – так почему-то стопорятся в решении.

При решении задач этого типа часто самое основное – это рисунок. Правильно выполненный наглядный рисунок – это половина решения. так что задачи будем сопровождать рисунками. Поехали!

1. На одной прямой на  равном расстоянии друг от друга по одну сторону от дороги стоят три телеграфных столба. Крайние находятся от дороги на расстояниях 1,5 м и 7,5 м. Найдите расстояние, на котором находится от дороги третий столб. Ответ дайте в метрах.

В этой задаче нужно “увидеть” равные треугольники.

Так как речь идет о расстоянии – а это перпендикуляр к дороге, то треугольники будут прямоугольными. Так  как столбы стоят на одном расстоянии и на одной прямой, то у этих треугольников – равные гипотенузы, и один и тот же острый угол. Поэтому наши треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Найдем катеты треугольников, помеченные двумя штрихами:

 

 

 

 

 

 

 

Расстояние от дороги до первого столба  - 1,5 м – “лишнее”, отбросим его, как бы придвинем дорогу к первому столбу: м, и это как раз два катета наших треугольников, тогда один катет – 3 м. Как показано на рисунке – искомое расстояние 3м+1,5 м=4,5 м.

Можно было бы также воспользоваться и формулой для отыскания среднего расстояния: самое маленькое расстояние – от дороги до первого столба, самое большое – от дороги до третьего, а расстояние до второго – среднее между первым и вторым:  м

Ответ: 4,5 метра. 

 

2. Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 17 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5 м. Найдите длину тени человека в метрах.

Задача на подобие. Увидеть подобные треугольники несложно: на рисунке выделены рыжим и красным. Подобие доказывается по двум углам, один из которых общий, другой – прямой. Поэтому можем воспользоваться коэффициентом подобия, через который связаны длины сторон подобных треугольников, и составить пропорцию:  – за х обозначили длину тени.

Ответ: 8 м.

 

3. Короткое плечо колодца с “журавлем” имеет длину 2 м. Когда конец короткого плеча поднялся на 0,4 м, конец длинного опустился на 0,9 м. Какова длина длинного плеча?

Эта задача – также на подобие. Подобные треугольники выделены зеленым.

Давайте докажем, что треугольники подобны. Оба они – прямоугольные, два угла у них равны, как вертикальные, поэтому треугольники подобны по двум углам. Тогда длины их сторон связаны между собой коэффициентом подобия, и для нахождение неизвестных достаточно составить пропорцию:

Ответ: 4,5 м

 

4. Колесо имеет 24 спицы. Найдите величину угла в градусах, который образуют две соседние спицы.

24 места крепления спиц на ободе колеса образуют 24 дуги, на которые оказывается разделен обод. Градусной мере такой дуги и будет соответствовать искомый угол.

Все колесо, как известно, это 360  , тогда искомый угол - 

Ответ: 15   .

 

5. Какой угол в градусах описывает часовая стрелка за 1 час  6 минут?

Один час и шесть минут – это 66 минут. Полный круг – 360 – часовая стрелка проходит за 12 часов, или 720 минут. Тогда она проходит 360 градусов за 720 минут, или полградуса в минуту. В таком случае за 66 минут она преодолеет 33 градуса.

Ответ: 33  .

 

6. На какой угол в градусах поворачивается минутная стрелка, пока часовая пройдет 5 ?

В предыдущей задаче выяснили, что за минуту часовая стрелка проходит полградуса. Чтобы пройти 5 , часовой стрелке понадобится 10 минут, а минутная стрелка  за 10 минут пройдет 1/6 круга, или 60 , так как полный круг – 360с- она проходит за 60 минут.

 

7. На расстоянии 21 м одна от другой растут две сосны, высота первой 39 м, а второй – 11 м. Найдите расстояние между их верхушками. Ответ дайте в метрах.

Расстояние между верхушками – это гипотенуза красного треугольника. Один его катет  - расстояние между соснами, оно равно 21 м. Второй катет – разность высот двух сосен: м. Тогда гипотенузу найдем по теореме Пифагора: м.

Ответ: 35 метров.

 

8. Два парохода вышли из порта и отправились в противоположные стороны. Скорость первого 13 км/ч, второго – 18 км/ч. Какое расстояние будет между пароходами через 4 часа?

Пароходы удаляются друг от друга, и расстояние между ними растет. Есть два способа решить эту задачу: найти расстояния, пройденные каждым из пароходов, и сложить их, либо найти скорость удаления, и, умножив ее на время – 4 часа, получить то же самое расстояние.

Делаем: 1 способ.

Первый пароход за 4 часа пройдет:  км, второй пройдет:  км. Сложим расстояния:  км.

2 способ:  км/ч – скорость удаления пароходов,  умножаем ее на время:  км.

Ответ: 124 км.