Глава 2. Элементы математической логики.

§1.Основные понятия.

Наша речь состоит из высказываний. Высказывания могут быть простыми, как например: дважды два четыре, 6 делится на 3 и т.д.; или сложными, составными, такими, как 2х2=5 или 6 делится на 3.

Высказывание либо истинно, либо ложно, и не может быть истинным и ложным одновременно (закон исключения третьего), хотя в реальной жизни это возможно. Например, высказывание “N – хороший человек” может быть одновременно и истинным и ложным в зависимости от того, чье мнение выражает это высказывание.

Сложные, составные, высказывания строятся из простых с помощью логических, или сентенциональных, связок. Их всего 5. Это не, и, или, если…, то (или влечет), тогда и только тогда, когда.

Задача логики высказываний состоит в том, чтобы уметь конструировать сложные высказывания из простых, и устанавливать истинность сложных высказываний, зная истинное значение простых компонентов.

Первое систематическое рассмотрение этих вопросов можно найти уже в сочинениях Аристотеля, однако математические подходы впервые были указаны Джорджем Булем (1854 г.). Современные более тонкие методы выработаны уже в наше время усилиями специалистов по математической логике.

Мы будем использовать строчные латинские буквы a, b, x, y, p, q и т.д. в качестве символов неопределённых высказываний. Эти высказывания могут быть как простыми, так и составными. Эти переменные могут принимать 2 значения, которые мы будем обозначать как 1 (истинно) или 0 (ложно).

§2.Основные логические операции (связки) и их таблицы истинности.

1. Отрицание. Читается не а (неверно, что а). Обозначается а̅ (иногда ¬а). Истинно тогда и только тогда, когда а ложно.

2. Логическое произведение (конъюнкция). Обозначается aÙb (иногда просто ab), читается а “и” b. В обычной речи в качестве синонимов используют слова “a” , “но”. Истинно только в том случае, если истинны оба высказывания.

3. Логическая сумма (дизъюнкция). Обозначается аÚb.Читается а “или” b. Высказывание ложно только в том случае, когда ложны оба высказывания. Отметим, что союз “или” употребляется не в разделительном смысле.

4. Импликация. Обозначается а®b. Читается “если а, то b”; а – посылка, b – заключение. Ложно только в случае, если посылка а истинна, а заключение b ложно. Заметим, что здесь не предполагается причинно-следственная связь.

5. Эквиваленция(двойная импликация). Обозначается а«b.Читается “а тогда и только тогда, когда b”. Истинно только когда а и b принимают одинаковые истинностные значения.

Таблица истинности основных логических операций

а	b	aÚb	aÙb	a®b	a«b	`а
0	0	0	0	1	1	1
0	1	1	0	1	0	1
1	0	1	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	0