1. Арифметичні операції над лінійними функціональними інтервалами

Формули операцій додавання і віднімання елементарних лінійних інтервальних обмежників {X, k⁽¹⁾x + m⁽¹⁾, ⁽¹⁾x + ⁽¹⁾} і {X, k⁽²⁾x + m⁽²⁾, ⁽²⁾x + ⁽²⁾} :

{X, k⁽¹⁾x + m⁽¹⁾, ⁽¹⁾x + ⁽¹⁾} + {X, k⁽²⁾x + m⁽²⁾, ⁽²⁾x + ⁽²⁾}=

{X, (k⁽¹⁾+ k⁽²⁾)x+( m⁽¹⁾+ m⁽²⁾),( ⁽¹⁾+ ⁽²⁾)x+( ⁽¹⁾+ ⁽²⁾)};

{X, k⁽¹⁾x + m⁽¹⁾, ⁽¹⁾x + ⁽¹⁾} - {X, k⁽²⁾x + m⁽²⁾, ⁽²⁾x + ⁽²⁾}=

{X, (k⁽¹⁾- k⁽²⁾)x+( m⁽¹⁾- m⁽²⁾),( ⁽¹⁾- ⁽²⁾)x+( ⁽¹⁾- ⁽²⁾)}.

Зокрема, якщо лінійний інтервальний обмежник L₁(X) сталий, тобто L₁(X) ≡ {X, c, c} = [c,c], де c – константа, то

[c,c]+[ k⁽²⁾x + m⁽²⁾, ⁽²⁾x + ⁽²⁾]=[ k⁽²⁾x+(c+ m⁽²⁾), ⁽²⁾x+(c+ ⁽²⁾)];

[c,c]- ]+[ k⁽²⁾x + m⁽²⁾, ⁽²⁾x + ⁽²⁾]=[- k⁽²⁾x+(c- m⁽²⁾),- ⁽²⁾x+(c- ⁽²⁾)];

Якщо ж L₂(X) ≡ {X, c, c}, то

[k⁽²⁾x + m⁽²⁾, ⁽²⁾x + ⁽²⁾]-[c,c]= [ k⁽²⁾x+( m⁽²⁾-c), ⁽²⁾x+( ⁽²⁾-c)];

Проміжні результати множення лінійних обмежників L₁(X) = {X, k⁽¹⁾x + m⁽¹⁾, ⁽¹⁾x + ⁽¹⁾} і L₂(X) = {X, k⁽²⁾x + m⁽²⁾, ⁽²⁾x + ⁽²⁾}

Проміжні результати ділення лінійних обмежників L₁(X) = {X, k⁽¹⁾x + m⁽¹⁾, ⁽¹⁾x + ⁽¹⁾} і L₂(X) = {X, k⁽²⁾x + m⁽²⁾, ⁽²⁾x + ⁽²⁾}, якщо L₂(X)

3. Метрика простору (лін. Функц.)інтервалу. Ширина лінійного функціонального інтервалу.

Якщо у просторі LI(X) ввести метрику, то цим ми зробимо його топологічним простором.

Зауваження 1. Нехай ₁ , M₁— множини точок кінців інтервалів інтервалу X, на яких графіки нижньої та верхньої обмежуючих функцій l₁(x), ₁(x), відповідно, лінійного обмежника L₁(X) кожен є відрізком лише однієї якоїсь прямої лінії, а , — множини точок кінців інтервалів інтервалу X такої ж природи лише для нижньої та верхньої обмежуючих функцій l₂(x), ₂(x), відпові- дно, лінійного обмежника L₂(X). Утворимо множину точок

M= M_{1 1} M_{2 2}

та множини , M точок граничного лінійного обмежника L(X).

Означення. Шириною лінійного функціонального інтервалу обмежника L(X) = {X , (x), (x)} називається число

,

Де множина точок M визначається аналогічно як у зауваженні 1.

Очевидно, що якщо L₁(X), L₂(X) LI(X), то

(L₁(X) L₂(X)) ⇔ ).

4. Одновимірний випадок розв’язування нелінійних рівнянь

Нехай потрібно знайти всі дійсні корені рівняння

(1)

в інтервалі , де . Функція на цьому інтервалі може бути і розривною, і/або недиференційованою. Побудуємо для неї на інтервалі лінійний інтервальний обмежник = . Його обмежуючі функції кусково – лінійні. Тому на кожному з інтервалів , де , лінійний обмежник буде деяким елементарним лінійним обмежником , ( ), тобто

=

(2)

Тому, аналізуючи обмежуючі функції цих елементарних лінійних обмежників, легко виділити інтервали інтервалу , які, і лише вони, містять всі дійсні корені рівняння (46) з інтервалу . Для цього обчислимо значення всіх обмежуючих функцій цих елементарних лінійних обмежників на кінцях всіх інтервалів . Зауважимо, що запропонований алгоритм побудови лінійних інтервальних обмежників автоматично синтезує всі ці значення вже в процесі їх побудови.

Алгоритм

Нехай

, , ( ), (3)

, (4)

. (5)

Тоді:

1. якщо і , або і , то на проміжку немає коренів рівняння (1);

2. якщо , і , то у проміжку лише на проміжку є корені рівняння (1), де числа , визначаємо за формулами (4), (5), відповідно;

3. якщо , , , , то у проміжку лише на проміжку можуть бути корені рівняння (1), де число визначаємо за формулою (4);

4. якщо , , , , то у проміжку лише на проміжку можуть бути корені рівняння (1), де число визначаємо за формулою (4);

5. якщо , , , ,, то у проміжку лише на проміжку можуть бути корені рівняння (1), де число визначаємо за формулою (5);

6. якщо , , , ,, то у проміжку лише на проміжку можуть бути корені рівняння (1), де число визначаємо за формулою (5);

7. якщо , , , , то на всьому проміжку можуть бути корені рівняння (1);

8. якщо , , , , то на всьому проміжку можуть бути корені рівняння (1);

9. якщо і = =0, то на всьому проміжку можуть бути корені рівняння (1), причому - корінь цього рівняння;

10 якщо і = =0, то на всьому проміжку можуть бути корені рівняння (1), причому - корінь цього рівняння;

11. якщо і = =0, то на проміжку лише число є коренем рівняння (1);

12. якщо і = =0, то на проміжку лише число є коренем рівняння (1);

13. якщо , то всі точки проміжку є коренями рівняння (1).

Зауваження 1. Якщо в інтервалах і можуть бути корені рівняння (46), то в інтервалі обов’язково є хоча б один його корінь.

Після локалізації інтервалів, де є, або можуть бути корені рівняння (46), далі пошук коренів цього рівняння продовжуємо за описаним вище алгоритмом окремо в кожному з цих інтервалів.

Приклад 1. Нехай потрібно знайти в інтервалі всі дійсні корені рівняння .

Послідовно знаходимо лінійні інтервальні обмежники всіх елементарних функцій цього рівняння. Нехай – множина точок інтервалу розбиття лінійного інтервального обмежника відповідної функції на елементарні лінійні інтервальні обмежники; , , , - множини кутових коефіцієнтів та зміщень верхніх та нижніх її лінійних елементарних обмежуючих функцій, відповідно; на інтервалах , а , - множини верхніх та нижніх значень, відповідно, у точках її елементарних лінійних обмежуючих функцій. Тоді:

для функції :

= {-2, -0.5, 1, 2.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6},

= {-10.5, -7.5, -4.5, -1.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5},

= {-12., -6., -6., 0., 0., 2., 2., 4.},

= {6., 7.5, 4.5, -3., -11., -15.5, -20.5, -26.},

= {3., 6., 6., -9., -9., -18., -18., -29.},

= {27., 11.25, 0., -6.75, -9., -8.75, -8., -6.75, -5.},

= {27., 9., 0., -9., -9., -9., -8., -7., -5.};

для функції :

= {-2, -1.81153, -1.375, -1.11811, -0.75, 0.303752, 2.625, 4.01928, 6},

= {4., 1.14286, 1.14286, 0.666667, 0.666667, 0.205128, 0.205128, 0.121212},

= {2.98102, 1.58279, 1.00206, 0.764924, 0.504956, 0.278538, 0.18041, 0.138612},

= {8.30685, 3.13104, 3.13104, 2.59861, 2.59861, 2.73881, 2.73881, 3.07609},

= {6.26889, 3.73595, 2.93745, 2.6723, 2.47733, 2.5461, 2.80369, 2.97169},

= {0.306853, 1.06072, 1.55962, 1.85321, 2.09861, 2.80111, 3.27727, 3.56327, 3.80336},

= {0.306853, 0.868677, 1.55962, 1.81704, 2.09861, 2.63071, 3.27727, 3.52881, 3.80336};

для функції :

= {-2, -0.80167, -0.25, 0.94833, 1.5, 2.05167, 3.25, 3.80167, 5},

= {0.027811, 0.0856473, 0.314646, 0.968989, -0.968989, -0.314646, -0.0856473, - 0.027811},

= {0.0108304, 0.122532, 0.122532, 1.38629, -1.38629, -0.122532, -0.122532, -0.0108304},

= {-0.936565, -0.8902, -0.83295, -1.45348, 1.45348, 0.110986, -0.633258, -0.853132},

= {-0.970527, -0.880979, -0.880979, -2.07944, 2.07944, -0.513382, -0.513382, -0.938035},

= {-0.992188, -0.958861, -0.911612, -0.534563, 0., 0., -0.534563, -0.911612, -0.958861, -0.992188},

= {-0.992188, -0.979209, -0.911612, -0.764778, 0., 0., -0.764778, -0.911612, -0.979209, -0.992188}.

Далі виконуємо операції згідно аналітичного запису лівої частини даного рівняння за описаною вище методикою над так утвореними лінійними інтервальними обмежниками. В результаті отримаємо лінійний інтервальний обмежник лівої частини даного рівняння. Множини , , , , , , його такі:

= {-2, -1.90577, -1.81153, -1.59327, -1.375, -1.35785, -1.3407, -1.24655, -1.22941, -1.11811, -0.934054, -0.80167, -0.75, -0.625, -0.5, -0.25, -0.0981238, 0.303752, 0.651876, 0.94833, 1, 1.5, 1.75, 2.11731, 2.5, 2.5625, 2.625, 3.3125, 3.75, 4, 4.00964, 4.01928, 4.25964, 4.36731, 4.5, 4.75, 5, 5.25, 5.5, 5.75, 6},

= {105.056, 89.2249, 17.7361, 7.25929, 7.25929, 7.25929, 7.25929, 1.09386, 1.09386, -7.35382, -12.5073, -11.929, -11.929, -15.429, -8.63312, -6.34314, -14.3807, -16.7907, -18.933, -12.3896, -3.021, -22.0262, -25.7865, -18.8033, -9.07591, -9.18036, -8.49959, -9.24378, -7.32337, -0.271835, -0.270096 ,0.123206, 0.156523, 0.465142, 4.12922, 4.23318, 8.03654, 8.20981, 12.1518, 12.3944},

= {73.5426, 66.8007, 24.6942, 16.4029, 0.726929, 0.314512, -1.23002, -1.23002, -3.90668, -10.8276, -14.2065, -13.0895, -18.656, -20.1709, -8.79676, -8.79676, -11.2319, -13.9771, -15.1407, -2.50312, -4.72374, -32.4496, -34.2958, -21.0455, -2.45882, -2.45882, -2.45882, -2.45882, -2.45882, -2.45882, -2.45882, -1.70357, -1.70357, -1.11799, 6.1251, 6.36752, 6.36752, 6.60995, 14.0955, 14.5803},

= {243.475, 213.305, 83.8004, 67.1081, 67.1081, 67.1081, 67.1081, 59.4226, 59.4226, 49.9772, 45.1635, 45.6272, 45.6272, 43.4397, 46.8376, 47.4101, 46.6214, 47.3535, 48.75, 42.5447, 33.1761, 61.6839, 68.2644, 53.4787, 29.1603, 29.4279, 27.6409, 30.1061, 22.9045, -5.30161, -5.30859, -6.88938, -7.0313, -8.37913, -24.8675, -25.3613, -44.3781, -45.2877, -66.9686, -68.3634},

= {180.448, 167.6, 91.3225, 78.1123, 56.5579, 55.9978, 53.9271, 53.9271, 50.6364, 42.898, 39.742, 40.6374, 36.4626, 35.5158, 41.2028, 41.2028, 40.9639, 41.7978, 42.5563, 30.5716, 32.7923, 74.3811, 77.6119, 49.5569, 3.09017, 3.09017, 3.09017, 3.09017, 3.09017, 3.09017, 3.09017, 0.0546329, 0.0546329, -2.5028, -35.0967, -36.2482, -36.2482, -37.5209, -78.6912, -81.4791},

= {33.3632, 43.263, 51.6709, 55.5421, 57.1266, 57.2511, 57.3756, 58.059, 58.0778, 58.1995, 56.846, 55.1903, 54.5739, 53.0828, 51.1542, 48.9959, 48.0325, 42.2533, 36.408, 30.7952, 30.1551, 28.6446, 23.138, 19.4168, 6.47053, 5.90328, 5.32951, -0.513959, -0.750527, -6.38895, -6.39157, -6.39418, -6.36456, -6.09357, -6.28599, -5.25369, -4.19539, -2.18625, -0.133803, 2.90414, 6.171},

= {33.3632, 40.2933, 46.5882, 51.9781, 55.5583, 55.5708, 55.5762, 55.4604, 55.4393, 55.0045, 530116, 51.1309, 50.4546, 48.1226, 45.6012, 43.402, 42.066, 37.5522, 32.6864, 28.1979, 28.0685, 25.7067, 17.5943, 13.5547, -2.97428, -3.21054, -3.36422, -5.05466, -5.1301, -6.4392, -6.76879, -6.48231, -7.20196, -7.00719, -7.53373, -6.00246, -4.41058, -2.8187, -1.16621, 2.35765, 6.04694}.

Отже, врахувавши зауваження 1, отримуємо два проміжки

[ , ] = [2.35475, 3.25189], [ , ] = [5.511, 5.58272],

у яких і лише там у інтервалі містяться корені даного рівняння.

Обчислимо ширину отриманих інтервалів ([ , ]) = 0.89714, ([ , ]) = 0.07172. Отже в результаті всього однієї ітерації алгоритму відбулася ізоляція і локалізація коренів даного рівняння в інтервалі , а сумарна ширина інтервалів невизначеності місця їх знаходження зменшилася більше ніж у вісім разів: одного кореня – у дев’ять разів, другого – в сто одинадцять разів. Далі пошук коренів цього рівняння (друга ітерація) продовжуємо за описаним вище алгоритмом окремо в інтервалах . [2.35475, 3.25189], [5.511, 5.58272].

Рис. 1 Графік функції лівої частини рівняння прикладу 1

Рис.2 Фрагменти графіків функції лівої частини рівняння (середній графік) та обмежуючих функцій лінійного обмежника в околі першого кореня рівняння прикладу 1

Рис.3 Фрагменти графіків функції лівої частини рівняння (середній графік) та обмежуючих функцій лінійного обмежника в околі другого кореня рівняння прикладу 1

Друга ітерація. на інтервалі = [2.35475, 3.25189]:

Отримуємо проміжок [ , ] = [2.94178, 2.94629], у якому в інтервалі містяться корені заданого рівняння.

Обчислимо ширину отриманого інтервалу: ([ , ]) = 0.00451. Отже в результаті другої ітерації алгоритму ширина інтервалу невизначеності місця знаходження першого кореня зменшилася майже у 199 разів (у 198,92 разів), що еквівалентне 46 - ому порядку збіжності.

Рис.4 Графік функції лівої частини рівняння прикладу 1 в околі першого кореня

Рис.5 Фрагменти графіків функції лівої частини рівняння прикладу 4 (середній графік) та обмежуючих функцій лінійного обмежника в околі першого кореня

на інтервалі [5.511, 5.58272]:

Отримуємо проміжок [ , ] = [5.52038, 5.52041], у якому в інтервалі містяться корені даного рівняння.

Обчислимо ширину отриманого інтервалу: ([ , ]) = 0.00003. Отже в результаті другої ітерації алгоритму ширина інтервалу невизначеності місця знаходження другого кореня даного рівняння зменшилася майже у 2391 раз (у 2390.66666 разів), що еквівалентне четвертому (4 -ому) порядку збіжності.

Далі пошук коренів цього рівняння (третя ітерація) продовжуємо за описаним вище алгоритмом в інтервалах . [2.94178, 2.94629], [5.52038, 5.52041].

Рис.6 Графік функції лівої частини рівняння прикладу 1 в околі другого кореня

Рис.7 Фрагменти графіків функції лівої частини рівняння прикладу 1 (середній графік) та обмежуючих функцій лінійного обмежника в околі другого кореня

Результати проведених обчислень оформимо у вигляді таблиці

Таблиця 1.

Результати розв’язування прикладу 1

Номер ітерації ( )	Інтервал (вихідний)	Ширина інтервалу	Коефіцієнт зменшення ширини	Порядок збіжності	Кількість точок розбиття
0	[-2, 6]	8	-	-	-
1-1	[2.35475, 3.25189],	0.89714	9	?	41
2-1	[2.94178, 2.94629]	0.00451	199	46	29
1-2	[5.511, 5.58272].	0.07172	111	?	41
2-2	[5.52038, 5.52041],	0.00003	2391	4	29