Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Факультет прикладної математики та інформатики

Кафедра теорії

оптимальних процесів

Курсова робота

на тему:

Застосування математики лінійних функціональних інтервалів для розв’язування систем алгебраїчних і трансцендентних рівнянь

Виконала:

студентка групи ПМа-41

Ільків Ю.Б.

Керівник:

проф. Сеньо П.С.

Львів 2015

ЗМІСТ

Вступ…………………………………………………………………………...…..3

Постановка задачі.………………………………………………………………...8

1. Теоретичні відомості...……………………………………………….………...9

1.1. Інтервальний метод Ньютона………... ………………………………9

1.2. Поняття лінійного функціонального інтервалу.………………….…12

1.2.1. Арифметичні операції над лінійними функціональними інтервалами…………………………………...…………………..…12

1.3. Метрика простору (лін. функц.??)інтервалу. Ширина (лін. функц.??)інтервалу………………………………………………………….19

1.4. Одновимірний випадок розв’язування нелінійних рівнянь………..20

1.5. Математика лінійних функціональних інтервалів в багатовимірних просторах…………………………………………………………………….21

1.5.1. Спрощені лінійні інтервальні обмежники………………….22

1.5.2. Арифметичні операції із спрощеними лінійними інтервальними обмежниками………………………………………...23

1.6. Багатовимірний випадок розв’язування нелінійних рівнянь……….25

2. Програмна реалізація та числові експерименти………………………...…..24

2.1. Постановка задачі…………………………………………………….24

2.2. Проектування і реалізація………………………………..……….….24

2.3. Інтерфейс, робота програми та результати……………………....…25

Висновки…………………………………………………………………….……27

Список використаної літератури………………………………………………..28

ВСТУП

Інтервальний аналіз - це галузь математичного знання, що досліджує завдання з інтервальними невизначенностями і методи їх вирішення.

Можна дати і більш розгорнуте визначення. Кожна наукова дисципліна характеризується, як відомо, своїм окремим предметом і власним специфічним методом. На наш погляд, інтервальний аналіз – це область знань на перетині обчислювальної математики та інформатики, предметом якої є вирішення задач з інтервальними невизначеностями і неоднозначністю даних. Інтервальний аналіз і його специфічні методи мають, таким чином, найбільшу цінність в задачах, де невизначеність і неоднозначність виникають на самому початку.

Інтервальна ідея, по своїй суті – алгоритмічна і потребує вирішення на обчилювальній машині.

Основні засади інтервальної арифметики полягають у розв’язуванні задач, пов’язаних із моделюванням об’єктів за умов інтервальних даних, які можуть бути розраховані за допомогою інтервального підходу, теоретичною основою якого є інтервальні обчислення.

Інтервальним розширенням F(x) функції f(x) на інтервалі Xназивається такий інтервал, який для кожного x X задовольняє умову f(x) F(X). Отже, якщо інтервал X вироджений, тобто є точкою x ≡ X = [x,x], то F(X) = f(x). Важливою властивістю інтервального розширення функції є монотонність його за включенням, тобто, якщо X⊂Y, то f(X)⊂f(Y).

Однак визначення інтервального розширення функції неоднозначне. Розрізняють наступні дві конкретизації цього поняття.

Об’єднаним розширенням Wf_f(X) функції f(x) на інтервалі X називаються інтервал

Wf_f(X) = (x) = .

Якщо функція f(x) неперервна, то її об’єднане розширення на інтервалі X співпадає з її областю значень на цьому інтервалі, тобто

.

Аналітичний вираз функції f(x) будемо трактувати як запис обчислювальної процедури, результатом якої є значення функції f(x) для довільного фіксованого значення аргументу x. Замінимо в аналітичному виразі функції f(x) всі операнди та операції над ними на відповідні їм інтервальні операнди та операції. Якщо в цьому разі отриманий так інтервал f(X) називають інтервальною функцією, природнім інтервальним розширенням функції, або і просто інтервальним розширенням функції. При цьому арифметичні операції над інтервалами виконуються так:

Якщо , то .

Постановка задачі

Вивчити математику лінійних функціональних інтервалів та основні відомості з інтервального аналізу. Отримані навики продемонструвати програмною реалізацією розв’язання систем алгебраїчних і трансцендентних рівнянь в пакеті Mathematica.