24)Теория теплопроводности. Однослойная плоская стенка

Ответ:

На рис. 6-3 изображена труба, в которой тепловой поток направлен по радиальным направлениям. Рассмотрим участок трубы длиной l. Площадь поверхности F на расстоянии r от оси будет равна 2πrl. Температура внутренней поверхности равна t´_ст, наружной — t´´_ст. Через поверхности проходит один и тот же тепловой поток. Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной dr. Площади поверхностей, через которые проходит тепловой поток в слое, можно принять одинаковыми и рассматривать этот элементарный слой как плоскую стенку. Разность температур между поверхностями будет также бесконечно малой величиной, равной dt. По закону Фурье: , или для кольцевого слоя: .

Разделяя переменные, получаем: . (a) Интегрируя уравнение (a) в пределах от t´_стдо t´´_ст и от r₁ до r₂ при λ = const, получаем: , Откуда:  Вт. (6-13) Как видно из уравнения, распределение температуры в стенке цилиндрической трубы имеет вид логарифмической кривой. Тепловой поток, проходящий через цилиндрическую стенку, определяется заданными граничными условиями и зависит от отношения наружного диаметра к внутреннему. Тепловой поток может быть отнесен к единице длины трубы и к 1 м²внутренней или внешней поверхности. Тогда расчетные формулы принимают вид:  Вт/м; (6-14)

 Вт/м²; (6-15)  Вт/м². (6-16)

25)Теория теплопроводности. Многослойная плоская стенка

Ответ: При стационарном температурном режиме тепловой поток, проходящий через многослойную плоскую стенку, будет один и тот же, т.е.: . Пусть стенка содержит n слоёв, имеющих различные l. Примем также, что контакт слоев совершенен, температуры в месте контакта для соприкасающихся слоёв одинаковы.

Сложив эти уравнения, получим: . Отсюда плотность теплового потока: Величина называется термическим сопротивлением теплопроводности многослойной стенки. Если сравнить процесс переноса тепла через многослойную стенку и стенку из однородного материала, то удобно ввести в рассмотрение эквивалентный коэффициент теплопроводности lэкв многослойной стенки. Для однослойной стенки: Для многослойной стенки: Эквивалентный коэффициент теплопроводности равен коэффициенту теплопроводности такой однородной стенки, толщина которой D равна толщине многослойной стенки , а тепловое сопротивление равно тепловому сопротивлению рассматриваемой многослойной стенки, т.е.: Отсюда: Поэтому lэкв зависит не только от теплофизических свойств слоёв, но и от толщины этих слоёв. Температуры на границе соприкосновения двух соседних слоёв: В общем виде: Для многослойной стенки температура изменяется по ломаной линии.

26)Теория теплопроводности. Однородная цилиндрическая стенка

Ответ: Однородная цилиндрическая стенка. Рассмотрим однородный однослойный цилиндр длиной l, внутренним диаметром d₁и внешним диаметром d₂(Рис.9.4).

Температуры поверхностей стенки –t_ст1 и t_ст2. Уравнение теплопроводности по закону Фурье в цилиндрических координатах: Q = - λ∙2∙π∙r ·l· ∂t / ∂r (9.24) или Q = 2·π·λ·l·Δt/ln(d₂/d₁), (9.25)

где: Δt = t_ст1 – t_ст2 – температурный напор; λ – κоэффициент теплопроводности стенки. Для цилиндрических поверхностей вводят понятия тепловой поток единицы длины цилиндрической поверхности (линейная плотность теплового потока), для которой расчетные формулы будут: q_l = Q/l =2·π·λ·Δt /ln(d₂/d₁), [Вт/м]. (9.26) Температура тела внутри стенки с координатой d_х: t_x = t_ст1 – (t_ст1 – t_ст2) ·ln(d_x/d₁) / ln(d₂/d₁). (9.27)