16)Числовые вероятностные характеристики случайных погрешностей. Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.

Ответ: Для описания частных свойств случайной величины используют числовые характеристики распределений. В качестве числовых характеристик выступают моменты случайных величин: начальные и центральные. Все они представляют собой некоторые средние значения; причем, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра закона распределения – то центральными. Начальный момент k-го порядка определяется формулами:

где в рi – вероятность появления дискретной величины.

Здесь и ниже первая формула относится к непрерывным, а вторая – к дискретным случайным величинам. Первая формула относится к непрерывным, а вторая – к дис-

кретным случайным величинам. Из начальных моментов наибольший интерес представляет математическое ожидание случайной величины (k = 1):

Центральные моменты k-го порядка рассчитываются по формулам

Из центральных моментов особенно важную роль играет второй момент (k = 2), дисперсия случайной величины D:

Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние отдельных ее значений. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины и выражает как бы мощность рассеяния относительно постоянной составляющей. Однако чаще пользуются положительным корнем квадратным из дисперсии – средним квадратическим отклонением (СКО), которое имеет размерность самой случайной величины. Для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ случайной погрешности результата измерения могут использоваться: предельная погрешность, интервальная оценка, числовые характеристики закона распределения. Предельная погрешность Δm – погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может появиться. Теоретически, такая оценка погрешности правомерна только для распределений, границы которых четко выражены и существует такое значение ± Δm, которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения (например, равномерное). Недостатком такой оценки является то, что она не содержит информации о характере закона распределения случайных погрешностей. При арифметическом суммировании предельных погрешностей получаемая сумма может значительно превышать действительные погрешности. Более универсальными и информативными являются квантильные оценки. Площадь, nзаключенная под всей кривой плотности распределения погрешностей, отражает вероятность всех возможных значений погрешности и по условиям нормирования равна единице. Эту площадь можно разделить вертикальными линиями на части. Абсциссы таких линий называются квантилями.

17)Понятие доверительной вероятности и доверительного интервала.

Ответ: Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров. Вначале остановимся на определении доверительного интервала для среднего арифметического значения измеряемой величины. Предположим, что распределение результатов наблюдений нормально и известна дисперсия Найдем вероятность попадания результата наблюдений в интервал .

Согласноформуле: Но и,

если систематические погрешности исключены (mX=Q), Это означает, что истинное значение Q измеряемой величины с доверительной вероятностью находится между границами доверительного интервала . Половина длины доверительного интервала называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующей доверительной вероятности Р. Для определения доверительной границы (при выполнении перечисленных условий) задаются доверительной вероятностью, например Р=0,95 или Р=0,995 и по формулам:

определяют соответствующее значение интегральной функции Ф(tp)

нормированного нормального распределения. Затем находят значение коэффициента tp и вычисляют доверительное отклонение Стандартные табличные данные. Проведение многократных наблюдений позволяет значительно сократить доверительный интервал. Действительно, если результаты наблюдений X i(i=l, 2,..., n) распределены нормально, то нормально распределены и величины xi/n , а значит, и среднее арифметическое , являющееся их суммой. Поэтому имеет место равенство

где t_p определяется по заданной доверительной вероятности Р. Полученный доверительный интервал, построенный с помощью среднего арифметического результатов n независимых повторных наблюдений, в n раз короче интервала, вычисленного по результату одного наблюдения, хотя доверительная вероятность для них одинакова. Это говорит о том, что сходимость измерений растет пропорционально корню квадратному из числа наблюдений. Половина длины нового доверительного интервала

называется доверительной границей погрешности результата измерений, а итог измерений записывается в виде Рассмотрим случай, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна. В этих условиях пользуются отношением

называемым дробью Стьюдента. Входящие в нее величины X и σХ вычисляют на основании опытных данных; они представляют собой точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений. Плотность распределения этой дроби, впервые предсказанного Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент, выражается следующим уравнением:

где S(t, k) – плотность распределения Стьюдента. Величина k называется числом степеней свободы и равна n–1. Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале (–t_p, +t_p), вычисляется по формуле

или, поскольку S(t, k) является четной функцией аргумента t,

Подставив вместо дроби Стьюдента t ее выражение через ,Q и получим окончательно (формула 1- основная)

Величины t_p, были табулированы Фишером для различных значений доверительной вероятности Р в пределах 0,10 – 0,99 при k = n–1 = 1, 2, …,30. Таким образом, с помощью распределения Стьюдента по формуле 1 может быть найдена вероятность того, что отклонение средне-

го арифметического от истинного значения измеряемой величины не превышает , например и т.д.