14

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ 2

Задача № 4 3

Задача № 17 3

Задача № 23 4

Задача № 39 6

Задача № 47 7

Задача № 56 8

Задача № 61 11

Задача № 4

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет p₁ для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно р₂, р₃ . Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

а) все устройства;

б) только одно устройство;

в) хотя бы одно устройство.

Решение:

p1=	98%
p2=	85%
p3=	80%

А) ;

Б)

В)

Где событие - ни одно устройство не сработает.

Где =1-p_i

Задача № 17

В ювелирный магазин изделия поступают от трех разных изготовителей в соотношении: 65% всех поступающих изделий, составляют изделия первого изготовителя, 15% – второго, остальные изделия третьего изготовителя. Вероятность того, что изделие, произведённое первым изготовителем, имеет скрытый дефект, равна 0,03, для второго и третьего изготовителей эти вероятности равны соответственно 0,05 и 0,04.

а) Найти вероятность того, что наудачу выбранное изделие имеет скрытый дефект.

б) Оказалось, что наудачу выбранное изделие имеет скрытый дефект. Какова вероятность того, что оно произведено вторым изготовителем?

Решение:

Пусть событие - наудачу выбранное изделие будет иметь скрытый дефект. Рассмотрим 3 гипотезы: Н₁ – это изделие поступило от первого изготовителя, Н₂ – это изделие поступило от второго изготовителя, Н₃ – это изделие поступило от третьего изготовителя. Вероятности этих гипотез:

, ,

Условные вероятности события при условии гипотез Н₁, Н₂ и Н₃ соответственно равны:

, ,

а) Найдем вероятность события А по формуле полной вероятности:

б) Вероятность того, что имеющее скрытый дефект изделие произведено вторым изготовителем, то есть апостериорную вероятность гипотезы Н₂, найдем по формуле Байеса:

Ответ: а) 0,035; б) 0,214.

Задача № 23

Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак «изделие высшего качества», равна 0,2.

1. На контроль поступило 6 изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен ровно 3 изделиям?

2. При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из 28 изделий знак высшего качества получат:

а) ровно 6 изделий;

б) не менее чем 4, но не более чем 16 изделий.

Решение:

1. Вычислим вероятность по формуле Бернулли:

,

где

2. Поскольку число испытаний достаточно велико, а вероятность присвоения знака высшего качества не близка ни к нулю, ни к 1, то для нахождения искомой вероятности воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа:

,

где .

,

б) Вычислим вероятность с помощью приближенной интегральной формулой Муавра-Лапласа:

,

,

Ответ: 1. 0,082; 2. а) 0,185; б) 0,7764.

Задача № 39

В лотерее на каждые 100 билетов приходится 4 билета с выигрышем 8 тысяч рублей, 6 билетов с выигрышем 5 тысяч рублей, 12 билетов с выигрышем 4 тысяч рублей, 20 билетов с выигрышем 2 тысячи рублей, 25 билетов с выигрышем 15 тысяч рублей. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

Решение:

Пусть дискретная случайная величина Х – величина выигрыша на один билет. Найдем вероятности всех ее возможных значений:

,

,

Закон распределения:

	0	2	4	5	8	15
	0,33	0,2	0,12	0,06	0,04	0,25

Найдем основные характеристики составленного закона.

1) Математическое ожидание случайной величины Х:

Значит, ожидаемый средний выигрыш на один билет составляет 5,25 тысяч рублей.

2) Дисперсия:

3) Среднее квадратическое отклонение:

Значит, отклонение фактических значений выигрыша от найденного среднего значения составляет 5,955 тыс. рублей.

Ответ: 5,25; 35,468; 5,955.