10.2. Характеристики потоку подій

Основними характеристиками потоку подій є функція потоку подій, інтенсивність (щільність) потоку подій, середнє число подій на інтервалі часу Δt, середнє число між подіями потоку.

Функція потоку подій Н(t) – математичне очікування числа n(t) подій на інтервалі часу (0, t).

. (10.1)

Функція потоку подій для ординарного потоку буде мати лінію у вигляді стрибків на одну одиницю подій кожного разу, (рис. 10.2, а).

Число подій за час t для сукупності N об’єктів буде:

, (10.2)

а для одного об’єкта дорівнює:

. (10.3)

Рис. 10.2. Характеристики потоку подій (відмов, відновлення працездатності): а – функція потоку подій (статистична); б – функція потоку подій при N→∞; в – інтенсивність потоку подій

При збільшені N число стрибків стає більшим, а самі стрибки – меншими. В межах при N→∞ маємо функцію потоку подій:

, (10.4)

яка зростає плавно, а не стрибкоподібно (рис. 10.2, б).

Функція (10.1) визначається для потоку відмов і для потоку відновлення працездатності одного об’єкта.

Число відмов і відновлення працездатності об’єкта за деякий строк експлуатації будуть однаковими, тому, що після кожної відмови проводиться відновлення працездатності. Але функція потоку відмов і функція потоку відновлення працездатності будуть різними тому, що відмінним буде час роботи і час відновлення працездатності за той же час експлуатації.

Функція потоку відмов на практиці часто трапляється лінійною в період нормальної експлуатації t_е, який слідує після періоду припрацювання t = t_n, що власне для стаціонарного потоку, і набуває вигляду (рис. 10.2, а):

, (10.5)

де z = const – інтенсивність потоку подій.

Інтенсивність (щільність) потоку подій – середнє число (математичне очікування числа) подій в одиницю часу.

Інтенсивність потоку подій є першою похідною функції потоку подій у часі:

. (10.6)

Інтенсивність потоку подій може бути як постійною, так і зміною величиною в залежності від характеру потоку: для стаціонарного потоку вона постійна, тобто λ = const, для нестаціонарного потоку залежить від часу, тобто λ = λ(t).

Інтенсивність потоку відмов називається параметром потоку відмов і позначається z(t). Параметр потоку відмов при наявності статичної інформації визначається як відношення числа об’єктів, що відмовили, до загального числа об’єктів, при їх миттєвому відновлені працездатності:

, (10.7)

де N – число об’єктів; Δt – інтервал часу; r_i(Δt) – число відмов кожного об’єкта до напрацювання t; r_i(t + Δt) – число відмов кожного об’єкта до напрацювання t + Δt.

Середній час між подіями потоку на інтервалі Δt (рис. 10.2, б) дорівнює:

. (10.8)

При Δt→0 та з врахуванням формули (10.6) маємо:

. (10.9)

Середній час між подіями на інтервалі Δt за матеріалами статистичною інформації для N об’єктів визначається по формулі:

. (10.10)

Зміна параметрів потоку відмов за час експлуатації характеризується трьома періодами (рис. 10.2, в): періодом припрацювання, періодом нормальної експлуатації та періодом відмов зносу.

Період припрацювання t_n на початку експлуатації характеризується підвищеними значеннями параметрів потоку відмов за рахунок відмов припрацювання, які невластиві конструкції об’єкта, а викликані технологічними та експлуатаційними причинами, до яких відносяться, наприклад, дефекти об’єктів, які не вибракувані при контролі. Потік відмов у цьому періоді не має властивостей стаціонарності.

Період нормальної експлуатації t_e (t_n, t_u) характеризується приблизно постійними значеннями параметру потоку відмов при незмінних умовах експлуатації. Цей період роботи об’єкта найбільш тривалий і є основним періодом його експлуатації. В цьому періоді виникають як раптові так і поступові відмови. Раптові відмови проявляються через приховані, не виявлені дефекти, які не можуть бути виявлені існуючими методами контролю, а також через випадкові перевантаження при порушені правил експлуатації тощо. Випадкові відмови обумовлюють невеликі, але постійні значення параметра потоку відмов. Поступові відмови виникають в елементах, ресурс яких набагато менший від ресурсу базових елементів, що визначають довговічність об’єкта в цілому. Потік відмов сукупності об’єктів в період нормальної експлуатації стає стаціонарним з постійним параметром потоку відмов.

Період старіння і зносу з моменту часу t_u характеризується монотонним наростанням параметра потоку відмов. В цьому періоді переважають поступові відмови базових елементів, які визначають довговічність об’єкта, що обумовлені старінням матеріалу, накопичення дефектів втоми та зносом. В цьому періоді об’єкт переходить на капітальний ремонт або знімається з експлуатації.

Параметр потоку відмов суттєво залежить від умов експлуатації. В період нормальної експлуатації параметр потоку відмов залишається на одному рівні тільки при незмінних умовах експлуатації.

Простіший потік подій має властивість стаціонарності, відсутності післядії і ординарності.

Потік відмов відновлювальних об’єктів в період нормальної експлуатації при незмінних умовах є простішим.

Потік відновлень працездатності об’єктів в практиці також є простішим.

Потік подій сукупності об’єктів виникає складанням потоків однорідних подій кожного об’єкта цієї сукупності, тобто складаються або потоки відмов об’єктів, або потоки відновлення працездатності об’єктів.

Складання рядів потоків П₁, П₂ … П_N проводиться накладанням всіх моментів часу появлення події на одну і ту ж вісь 0t (рис. 10.3). Складання великої кількості незалежних стаціонарних, ординарних потоків практично з любою післядією дає потік, близький до простішого.

Сумарний потік буде наближатися до простішого при збільшені числа потоків. На практиці достатньо скласти 4-5 потоків щоб наблизити загальний потік до простішого.

. (10.11)

Рис. 10.3. Потік подій сукупності об’єктів N в часі t