7.2. Основні положення розрахунку
Положення 1. Якщо про деяке висловлювання С можливо стверджувати, що воно істинне, якщо істинні висловлювання А або В, тоді робиться висновок про те, що висловлення С рівне висловлюванням А або В, які є зв’язаними між собою логічною операцією диз’юнкція:
С = АВ. (7.3)
Якщо вище викладене використати для надійності, то про виріб можна сказати, що він буде працездатним, тільки тоді, коли працездатним є його елемент а або b, та зробити висновок про те, що працездатність виробу (подія с) і працездатність елементів а і b (подія а і подія b) зв’язані між собою логічним рівнянням працездатності:
с = аb, (7.4)
де: а, b, с – події стану.
Логічну операцію диз’юнкції можливо подати графічно, схемою паралельного з’єднання (рис. 7.3), яка входить в рівняння (7.4):
Рис. 7.3. Схема паралельного з’єднання елементів (логічної операції диз’юнкції)
Положення 2. Якщо про деяке висловлення С можливо стверджувати, що воно істинне тоді, коли істинні висловлювання А і В, та робиться висновок про те, що висловлювання С рівне висловлюванням А і В, які зв’язані між собою логічною операцією кон’юнкції:
С = АВ. (7.5)
Якщо про виріб можливо стверджувати, що він працездатний, якщо працездатні елементи а і елемент в, можливо зробити висновок про те, що працездатність виробу (подія С) і працездатність елементів а і b (подія а і подія в) зв’язані між собою логічним рівнянням кон’юнкції:
с = аb. (7.6)
Логічна операція кон’юнкція може бути подана схемою послідовного з’єднання елементів (рис. 7.4), яка входить в рівняння (7.6):
Рис. 7.4. Схема послідовного з’єднання елементів
(логічна операція «і» – кон’юнкція)
Положення 3. Якщо деяке висловлення А заперечується висловленням В, тоді говорять, що висловлення А і висловлення В зв’язані між собою логічною операцією заперечення:
В =А. (7.7)
Вираз 7.7 читається так: „В є не А”.
В теорії надійності це положення використовують наступним чином. Наприклад, якщо працездатний стан елемента а можливо позначити а, то непрацездатний стан (відмова) елемента а позначається як а (не а).
Логічне перетворення у формі інвертора - пристрою, який перетворює висловлювання А у висловлювання не А показаний на рис. 7.5:
Рис. 7.5. Схема інвертування вхідної величини (повторення)
Таким пристроєм може бути пристрій, який перетворює «1» в «0» в схемі розрахунку надійності – перехід від працездатного у стан відмови, як наприклад, випадання монети герба або решки.
Положення 4. Логічні операції диз’юнкції, кон’юнкції і заперечення є основними операціями, які використовуються в теорії надійності, так як до них можуть бути зведені всі інші логічні операції.
Положення 5. Складну логічну функцію можливо мінімізувати, тобто перетворити таким чином, що вона буде містити найменше число членів, або в ній не буде повторюваних членів.
Для мінімізації функції та для виключення повторюваних членів та перетворення логічної функції в арифметичну рекомендуються наступні формули:
а · а = а 5. (а а) = 1
а а = а 6. (а · b) (а · b) = 1
а аb = а 7. а(а b) = а
(1 а) = 1 8. (а b) · (а с) = а bс
9. Fл (а, b, с, ...) =
аFл (1, b, с, ...) аFл (0, b, с, ...) (7.8)
Перетворення логічної функції до такого вигляду, коли в ній немає повторюваних членів, безперечно необхідно при розрахунках надійності, особливо при статистичних дослідженнях. Якщо функція має вигляд Fл = а · а (а – подія), то її не можна безпосередньо використовувати для розрахунку ймовірності складної події. Заміна подій ймовірностями приведе до формули Р(а · а) = Р(а) · Р(а) = Р2(а). В дійсності ж Fл = а · а = а. Тому Р(а · а) = Р(а).
Особливої уваги заслуговує формула розкладання Fл на дві складові. Вона використовується тоді, коли всі інші формули не дозволяють виключати повторення елементів.
Положення 6. Логічні функції можливо перетворити у функції алгебраїчні, якщо замінити всі логічні операції на арифметичні за наступними правилами:
а в = а + в – а ∙ в (7.9)
а в = а · в (7.10)
а = 1 – а (7.11)
Логічну функцію працездатності, у якої всі логічні операції замінені арифметичними, будемо називати функцією працездатності, поданої в арифметичному вигляді.