7. Логіко-ймовірнісний метод

розрахунку надійності складних систем

7.1. Теоретичні основи методу

Метод розрахунку заснований на використанні математичного апарату алгебри логіки. Розрахунок надійності складної системи передбачає визначення зв’язку між складної подією (відмова системи) і простими подіями, від яких вона залежить (відмови елементів системи). Таким чином, розрахунок надійності можливо подати у формі операцій або з подіями або з висловлюваннями. В якості подій і висловлювань приймаються ствердження про працездатність або про непрацездатність (відмова) елемента (системи).

Розрахунок надійності складної системи, по суті, є визначенням істинності складного висловлювання. Розрахунок заснований на використанні логічних рівнянь, які відповідають стану системи.

Стан об’єкта можливо подати у вигляді логічних знаків.

Наведемо приклад висловлювання: «Виріб знаходиться в працездатному стані, якщо в працездатному стані знаходиться його елемент а і один із наступних елементів в, або d, або ж обидва елементи разом взяті».

Таке висловлювання є складним, яке складається із простих висловлювань, зв’язаних між собою логічними операціями кон’юнкції та диз’юнкції.

Кон’юнкція, або логічний добуток (лат. conjunction – сполучник, зв’язок) – операція математичної логіки, яка з’єднує два або більше висловлювання за допомогою сполучника, подібного із сполучником «і» у нове складне висловлювання, яке істинне (дійсне) тоді, і тільки тоді, коли кожне із початкових (вихідних) висловлювань істинне, та неістинне в тих випадках, коли хоча б одне із початкових (вихідних) висловлювань хибне (помилкове). Наприклад, повідомлення (донесення) оглядача гідротехнічних споруд (оператора дощувальної машини), представлене як з’єднання ряду суджень, що описують яку-небудь відмову трубопроводу зрошувальної мережі, визнається істинним (дійсним) лише у тому випадку, коли кожне із висловлених суджень є істинним (дійсним). Якщо хоча б одне із суджень виявляється хибним (помилковим), то повідомлення (донесення) в цілому ставиться під сумнів.

Символічно кон’юнкція записується таким чином:

АВ, (7.1)

де: А і В – позначають висловлювання,

 – сполучник «і».

Читається формула АВ так: «А і В»; «має місце А і має місце В».

В теорії множин операції кон’юнкція відповідає операція пересікання множин, яка позначається символом . В діаграмі Вена (рис. 7.1) ця операція зображується так:

Рис. 7.1. Операція з’єднання Вена-кон’юнкція:

прямокутник – це універсальна множина;

А і В – множники цієї величини

В повсякчасній мові операція кон’юнкція в певній мірі відповідає з’єднанню двох або більше речень (суджень) за допомогою сполучника «і». Відмінність полягає в тому, що сполучник «і» в операції кон’юнкції не передбачає зв’язку між висловлюваннями за змістом, що має місце в повсякчасній мові, а тільки за їх істинністю чи хибністю (помилковістю). В звичайній мові за допомогою сполучника «і», як правило, об’єднують два або декілька речень, які зв’язані одне із іншим змістовним відношенням та в яких висвітлюються послідовно події, які розгортаються, або події, що об’єднанні просторовими, причинними або ще якими-небудь іншими зв’язками: «Він повернув кран і вода побігла». В логіці ж зв’язка «і» має дещо інший зміст: вона може з’єднувати любі висловлювання.

Диз’юнкція, або логічне роз’єднання (лат. Disjunction – роз’єднання. розділення) – операція математичної логіки, що показує в з’єднанні двох або більшої кількості висловлювань за допомогою логічного сполучника «або» нове, складне судження. Наприклад, «Електричка поїде на Київ або ж відправиться на запасну колію». В повсякчасній мові операції диз’юнкції відповідають з’єднанню двох або більше речень (суджень) за допомогою сполучника «або». Різниця полягає в тому, що сполучник «або» в диз’юнкції не передбачає зв’язку між висловлюваннями по змісту, як це має місце у повсякчасній мові, а тільки по їх істинності (дійсності) або помилковості (хибності).

Інколи слово «або» виступає у виключному значенні («або А, або В, або те і друге разом»), коли у складному висловлюванні, яке складається із двох або більше висловлювань, істинність одного висловлювання не виключає істинності іншого. Наприклад, таке висловлювання: «Відмінники нашого курсу добиваються кращих показників в навчанні або старанністю, або систематичним повторенням пройденого, або систематичною самостійною працею». У цьому висловлюванні любий із членів диз’юнкції не виключає інших членів, а всі інші члени не виключають жодного із членів диз’юнкції. Таке з’єднання називають з’єднувально-роз’єднувальним.

Символічно з’єднувально-роз’єднувальна диз’юнкція записується так:

АВ, (7.2)

де: А і В – означають висловлювання,

 – сполучник «або» (від лат. vel, що значить «або»).

Читається висловлювання так «А або В»; «має місце А або має місце В». Висловлювання А або В, що утворюють диз’юнкцію, називають членами диз’юнкції.

В теорії множин операції диз’юнкції відповідає операція об’єднання множин, яка позначається . В діаграмі Вена (рис.7.2) ця операція позначається так:

Рис. 7.2. Операція з’єднання Вена-диз’юнкція:

прямокутник – це універсальна множина;

А і В – множники цієї множини