5.2. Метод перетворення структури відносно

особливого елемента

В деяких випадках застосування математичної логіки теореми перетворення функції логіки по любому аргументу стосовно до задач надійності становищ відмов і працездатного становища можливо сформулювати наступним чином;

, (5.9)

де: P(x_i = 1) – імовірність становища працездатності

системи при умові, що і-й елемент абсолютно надійний;

P(x_i = 0) – та ж імовірність при умові, що і-й елемент безперечно відмовив.

Орієнтовно можна порекомендувати, що при перетворенні структури типу «мостик» у послідовно-паралельні схеми і вибирають особливий той елемент, який має більше всього зв’язків.

Приклад. Розглянемо місткову схему, що є в попередньому прикладі, і знайдемо вираз для імовірності безвідмовної роботи. Елемент, який має більшого всього зв’язків, це «3-й» елемент.

При заміні елемента «3» на абсолютно надійний елемент, схема 5.1 перетворюється на нову структуру паралельно-послідовного з’єднання, рис 5.2.

Рис. 5.2. Модифікована схема місткової структури при абсолютній надійності елемента, який заміняється (Х₃ = 1)

Для такої схеми імовірність безвідмовної роботи має вигляд:

. (5.10)

При заміні елемента «3» на елемент з відмовою, схема рис. 5.1, перетворюється на послідовно-паралельну структуру з’єднання, рис.5.3.

Тому для цієї схеми при х = 0 рівняння має вигляд:

. (5.11)

Рис. 5.3. Модифікована схема місткової структури при відмові елемента «3» (Х₃ = 0)

Остаточно маємо рівняння:

. (5.12)

При ідентичності елементів остаточний результат

:

. (5.13)

Співставлення отриманого результату з вище наведеними результатами показує, що ці рішення ідентичні, хоча отримані різними способами.

Перетворення складних структур в структури, на які є трафаретні рішення дозволяє знайти рішення надійності значної кількості задач.

5.3. Аналітико-статистичний метод розрахунку

надійності

Для складних гідромеліоративних систем, де кількість елементів і ліній зв’язку між ними значна, ні один із названих методів не є ефективним. Якщо лінії зв’язку між елементами достатньо надійні, а мережа має деяку надлишковість, то пряме використання метода статистичних випробувань також не дає бажаного результату, тому що багато реалізацій є неінформативними, наприклад, те що на системі немає відмов, або що є тільки одна відмова, яка мало впливає на надійність системи тощо.

В цьому випадку для ізотропних систем, у яких лінії зв’язку рівно надійні, можливо використати змішаний спосіб оцінки:

1) Аналітично розраховують імовірність становищ мережі, яка включає N ліній зв’язку між елементами:

H₀ – працездатні всі лінії зв’язку в мережі;

H₍₁₎ – відмова однієї лінії зв’язку в мережі;

H_(k) – відмова k ліній зв’язку в мережі.

Імовірність події H₀ дорівнює:

, (5.14)

де: p – ймовірність становища працездатності ліній зв’язку між елементами мережі, q = 1 – p;

2) Методом статистичних випробувань оцінюють умовну ймовірність Ф_k того, що мережа, яка знаходиться в становищі H_k, працездатна за вибраним критерієм;

3) Розраховують повну ймовірність робото здатності мережі за формулою:

. (5.15)

Як правило в якості критерію роботоздатності мережі вибирається наявність зв’язку між всіма елементами так звана функціональна зв’язність мережі. У цьому випадку Ф_k є умовна ймовірність зв’язності мережі при відмові k ліній, яка знаходиться наступним чином.

За допомогою статистичних випробувань проводиться реалізація k відмов тих чи інших ліній зв’язку. Наприклад, вибираються k різних випадкових цілих чисел, які рівномірно розподілені. Далі ця реалізація мережі перевіряється на зв’язність. Якщо ця реалізація задовольняє критерію, тобто мережа зв’язна, то в лічильник числа успішних реалізацій до загальної кількості реалізації добавляється одиниця.

Умовна ймовірність Ф_k обчислюється так:

, (5.16)

де: N_k – повна реалізація при k відмов ліній зв’язку:

υ_k(N_k) – число успішних реалізацій із загальної кількості N_k реалізацій.

Алгоритм перевірки зв’язності мережі з конкретною реалізацією наведені нижче.

Приклад. Розглянемо місткову схему з тими ж характеристиками, що і в попередньому прикладі. Місткова схема допускає відмову любого одного елемента без порушення працездатності , який ми аналізували методом прямого перебору. Це означає що Ф₀ = Ф₁ = 1. Відмова чотирьох любих елементів приводить до обов’язкової відмови схеми, тому що немає жодного справного шляху, тобто Ф₄ = 0. Природно, що і Ф₅ = 0. Тому при аналізі детально зупинимося на можливих комбінаціях відмов із двох і трьох елементів.

Величини Ф₂ і Ф₃ знайдемо, використовуючи таблицю випадкових чисел (табл. 5.2). Будемо вважати, що поява цифр 0 і 1 відповідає відмові елемента Х₁, цифри 2 і 3 – відмові елемента Х₂, цифри 4 і 5 – відмові елемента Х₃, цифри 6 і 7 – відмові елемента Х₄ і, нарешті, цифри 8 і 9 – відмові елемента Х₅.

Візьмемо підряд всі числа першого стовпчика табл. 5.2: 218155512 і так далі і перекодуємо у послідовність елементів, які «відмовили»: Х₂Х₁Х₅Х₁Х₃Х₃Х₃Х₁Х₂ і так далі.

Розіб’ємо останню послідовність на пари, при цьому пари які мають два однакових елементи, виключаються із реалізації, як заборонені реалізації.

Отримані реалізації незаборонених реалізацій таких пар групуємо в табл. 5.2. Напроти кожної реалізації виставляється логічна відповідність відмови – «0» і працездатності – «1».

Далі, другий стовпчик таблиці 5.2 використовується для кодування реалізацій із трьох елементів за тим же правилом.

Таким чином таблиця 5.2 дозволяє обчислити статистичні оцінки для Ф₂ і Ф₃.

Ймовірність P_k дорівнюють:

, ,

,

Таблиця 5.2

Статистична реалізація становищ місткової схеми з’єднання

елементів і її логічна оцінка

Номер не заборо-неної реалізації	Реалізація двох елементів, які відмовили	Індикатор праце-здатності схеми «1» або «0»	Номер не забороненої реалізації	Реалізація трьох елементів, які відмовили	Індикатор праце-здатності схеми «1» або «0»
1	2	3	1	2	3
1	Х2Х1	0		Х1Х4Х4	-
2	Х5Х1	1		Х5Х3Х3	-
	Х3Х3	-	1	Х3Х5Х1	0
3	Х3Х1	1		Х2Х3Х2	-
4	Х2Х4	1		Х3Х3Х5	-
5	Х2Х3	1	2	Х2Х4Х1	0
	Х2Х2	-		Х4Х4Х3	-
6	Х1Х2	0	3	Х1Х2Х3	0
7	Х1Х3	1	4	Х4Х2Х5	0
8	Х4Х5	0	5	Х2Х3Х5	1
9	Х2Х5	1	6	Х3Х2Х5	1
10	Х2Х1	0	7	Х1Х4Х5	0
11	Х4Х1	1	8	Х2Х3Х5	1
	Х3Х3	-	9	Х4Х3Х5	0
12	Х4Х3	1	10	Х5Х1Х3	1
13	Х2Х5	1	11	Х3Х4Х5	0
14	Х3Х4	1	12	Х5Х2Х4	0
15	Х1Х2	0	13	Х5Х1Х2	0
16	Х1Х2	0	14	Х2Х5Х1	0
17	Х1Х3	1	15	Х5Х1Х4	0
18	Х1Х3	1	16	Х5Х2Х1	0
19	Х4Х5	0	17	Х5Х4Х2	0
20	Х3Х4	1	18	Х4Х5Х2	0
			19	Х2Х1Х5	0
			20	Х2Х5Х4	0

Таким чином таблиця 5.2 дозволяє обчислити статистичні оцінки для Ф₂ і Ф₃.

Імовірність P_k дорівнюють:

, ,

,

Остаточно знаходимо:

У порівнянні з попереднім результатом . Похибка в даному випадку викликана недостатньою достовірністю значень Ф₂ і Ф₃.

В цій методиці використані аналітичні обчислення для відомих становищ мережі P₀, P₁ і статистично обчислюють стани P₂ і P₃, причому реалізації статистичної оцінки імовірності подій введені як коефіцієнти загальної імовірності від можливої кількості варіацій.