5.Методи розрахунку надійності

складних систем

5.1. Метод прямого перебору

Метод прямого перебору полягає у переборі і аналізі можливих станів системи із працездатних (справних) елементів та станів з відмовами. В залежності від кількості елементів N, система може знаходитися в 2^N різних можливих станах:

H₀ – усі N елементів працездатні;

H_і – відмовив і-й елемент, решта працездатні;

H_іJ – відмовив і-й та j-й елементи, решта працездатні;

H_1,2,…N – відмовили всі елементи.

Якщо яким-небудь чином встановлений критерій відмови системи, то, застосовуючи до кожного із станів, усю множину станів можливо розділити на дві його складові: підмножину стану працездатності системи P, підмножини стану відмови системи F. Тоді, якщо для кожного стану Hα вирахувати імовірність його появлення Pα, то імовірність стану працездатності в цілому можливо записати так:

. (5.1)

Для системи із N взаємно незалежних елементів можливі такі стани системи:

. (5.2)

. (5.3)

. (5.4)

. (5.5)

де: p_i – імовірність стану працездатності і-го елемента

системи;

q_i – імовірність стану непрацездатності (відмови) і-го

елемента;

υ_і – дольове відношення імовірних значень

непрацездатності q_i і працездатного стану p_i:

. (5.6)

Розділення множини можливих станів здійснюється за ознакою працездатного та непрацездатного стану (відмови).

Якщо P_i – імовірність роботи до відмови для і-го елемента, тобто , де ξ_і – випадковий час роботи до відмови і-го елемента, то формула для P дозволяє вирахувати імовірність безвідмовної роботи системи, тобто , де ξ – випадковий час роботи до відмови системи.

У цьому випадку можливо вирахувати також середній термін роботи системи до відмови за загальною формулою:

. (5.7)

Якщо p_i – коефіцієнт готовності (нестаціонарний коефіцієнт готовності, коефіцієнт оперативної готовності, або нестаціонарний коефіцієнт готовності) і-го елемента, то імовірність P є коефіцієнт готовності (нестаціонарним коефіцієнтом готовності, коефіцієнтом оперативної готовності, або нестаціонарним коефіцієнтом готовності) системи в цілому.

Приклад. Місткова схема (рис. 5.1) складається із ідентичних елементів, кожний із яких характеризується імовірністю безвідмовної роботи із параметром . Необхідно знайти імовірність безвідмовної роботи схеми за t = 10 год. і середній час роботи до відмови.

Рис. 5.1. Місткова схема з’єднання

Рішення. Складаємо таблицю можливих станів (табл. 5.1) за рис. 5.1. Безпосередньо в таблиці визначаємо до якого стану відноситься той чи інший стан системи: до працездатного стану P чи до непрацездатного стану F, а також імовірність стану.

На основі даних аналізу таблиці маємо:

. (5.8)

Інколи при розрахунках P(t) для малих значень t зручно зробити заміну p = 1 – q і подати у вигляді функції від q:

p⁵ = 1 – 5q + 10q² – 10q³ + 5q⁴ – q⁵

5qp⁴ = 5q – 20q² + 30q³ – 20q⁴ – 5q⁵

8q²p³ = 8q² – 24q³ + 24q⁴ – 8q⁵

2q³p² = 2q³ – 4q⁴ – 2q⁵

--------------------------------------------------

P = 1 – 2q² – 2q³ + 5q⁴

При q_(t=10) = 1 – e^0,1 ≈ 0,1 маємо

P_(t=10) = 1 – 2 ∙ 0,01 – 2 ∙ 0,001 + … ≈ 0,978.

Таблиця 5.1

Можливі стани системи і їх ідентифікація

Індекс стану, α	Стан елементів					Вид множника P або F	Імовірність становища Pα
	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
1	2	3	4	5	6	7	8
0	1	1	1	1	1	P	p5
1	0	1	1	1	1	P	qp4
2	1	0	1	1	1	P	qp4
3	1	1	0	1	1	P	qp4
4	1	1	1	0	1	P	qp4
5	1	1	1	1	0	P	qp4
---------------------------------------------------------------------------------------------
12	0	0	1	1	1	F	q2p3
13	0	1	0	1	1	P	q2p3
14	0	1	1	0	1	P	q2p3
15	0	1	1	1	0	P	q2p3
23	1	0	0	1	1	P	q2p3
24	1	0	1	0	1	P	q2p3
25	1	0	1	1	0	P	q2p3
34	1	1	0	0	1	P	q2p3
35	1	1	0	1	0	P	q2p3
45	1	1	1	0	0	F	q2p3
---------------------------------------------------------------------------------------------
134	0	1	0	0	1	P	q3p2
135	0	1	0	1	0	F	q3p2
145	0	1	1	0	0	F	q3p2
234	1	0	0	0	1	F	q3p2
235	1	0	0	1	1	P	q3p2
245	1	0	1	0	0	F	q3p2
345	1	1	0	0	0	F	q3p2
---------------------------------------------------------------------------------------------
1345	0	1	0	0	0	F	q4p

Примітка: В таблиці Х₁ = 1 означає, що і-й елемент справний, а Х₁ = 0 – що він несправний. Індекси стану α бралися за правилом: цифри в середині індексу зростають. Комбінації індексів із трьох елементів не використовувалися значення індексів 1 і 2, оскільки вже за попереднім аналізом вони давали відомий результат; аналогічно індекси 4 і 5.

Для визначення середнього терміну роботи до відмови зручніше представляти P(t) у вигляді функції від p, тому що такий вираз легше інтегрувати.

Інтегруючи P(t) з урахуванням того, що , отримуємо: