§ 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
1) Уравнения с
разделяющимися переменными. Примеры:
,
,
2) Однородные (по
степени) уравнения
.
Доказать, что замена
сводит однородное уравнение к уравнению
с разделяющимися переменными.
3) Линейные уравнения.
Вид
,
либо
.
Однородные (с
помощью разделения переменных). Примеры
,
Неоднородные: Метод Лагранжа для неоднородных линейных уравнений 1 порядка. Обоснование метода.
Неделя 8. Лекция
2.4.2015 Пример.
4) Уравнения Бернулли. Обосновать метод сведения уравнения Бернулли к линейному уравнению с помощью замены.
5) Уравнения в полных дифференциалах, кратко.
Условия Коши и их применение.
§ 2. Дифференциальные уравнения n-го порядка.
Методы понижения порядка.
Случай 1) если в
уравнении не содержатся младшие порядки
производных, то есть тип уравнения
то замена y(k)=z,
при этом y(k+1)=z’,...
Доказать, что
замена
понижает порядок уравнения
.
Пример.
Варианты начальных условий:
(условия Коши)
или
(в двух различных точках)
Случай 2) если в
уравнении содержатся все порядки
производных, но нет х, то есть тип
уравнения
то
замена y’=p(y)
Вывести и обосновать
замену, доказать что
.
Доказать, что замена
понижает порядок уравнения, в котором
отсутствует
,
то есть уравнения вида
.
Пример:
(уравнение колебаний) решить этим
методом.
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
Линейное уравнение высшего порядка.
- неоднородное.
- однородное.
Характеристическое уравнение.
Теорема 1. Доказать,
что
является решением
r
есть характеристический корень
Пример
.
Неделя 9. Лекция 9.4.2015
Теорема 2. Линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения тоже является его решением.
Теорема 3. (Теорема о наложении решений). Если y1 - решение линейного неоднородного дифф.уравнения с правой частью b1(x), а y2 - решение такого же дифф.уравнения, но с правой частью b2(x), то линейная комбинация Ay1 + By2 является решением уравнения с правой частью Ab1(x) + Bb2(x).
Следствие. Сумма решений линейного неоднородного и соответствующего однородного дифференциального уравнения является решением неоднородного уравнения.
Определение линейной зависимости и независимости. Определитель Вронского.
Примеры. x,2x x,x2.
Основное свойство.
система
функций линейно-зависима.
Теорема 4. Существует ровно n линейно-независимых решений линейного однородного дифф. уравнения порядка n, всякое решение есть их линейная комбинация.
Определение. Система из n решений, указанная в этой теореме, называется ФСР (фундаментальной системой решений) линейного однородного дифф. уравнения.
3 случая: случай 1 - все характеристические корни действительные и различные
( док, что система
линейно независима. )
Линейные однородные.
Примеры.
,
.
случай 2 - все характеристические корни действительные, но среди них есть кратные
Система
линейно независима и входит в ФСР
однородного уравнения, если 0 есть корень
кратности k.
входит в ФСР
однородного уравнения, если r
есть корень кр-сти k.
Пример.
.
случай 3 - есть комплексные характеристические корни.
Если корень a+bi,
то в ФСР входят две функции:
и
.
Пример.
.
НЕОДНОРОДНЫЕ системы.
Метод Лагранжа для линейного неоднородного уравнения порядка n, построение системы для неизвестных. Система, из которой находятся неизвестные функции:
Пример. Решение
методом Лагранжа уравнения
Сначала решается соответствующее однородное уравнение .
Его характеристическое
уравнение это
,
корни равны 1 и 2, общее решение однородного
.Далее
вместо констант ставим неизвестные
функции, то есть решение неоднородного
ищем в виде
.
Для того, чтобы найти неизвестные
функции, строим систему:
Решая её методом
Гаусса, находим производные, а затем и
сами функции и подставляем их в выражение
.
Приводя подобные, в итоге получим:
.
Метод неопределённых коэффициентов для неоднородного уравнения.
Для
частное решение неоднородного ищем в
виде
Примеры. (3 не совпадает ни с каким хар. корнем)
и
(1 совпадает с хар. корнем кратности 2)
Неделя 10. Лекция 16.4.2015